Question

1440和20的最大公因数

Answer 1

1440和20的最大公因数是20。
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最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公因数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公因数记为（a，b，c），多个整数的最大公因数也有同样的记号。

求最大公因数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公因数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公因数。

例： 在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公因数。

早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x, y）表示x，y的最大公因数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公因数也是相同的，则有f（x, y）= f（y, x%y）（y > 0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公因数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。

例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公因数。

辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公因数的，也叫欧几里德算法，其方法是用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数（即除数）就是最大公因数。以求288和123的最大公因数为例，操作如下：

288÷123=2余42

123÷42=2余39

42÷39=1余3

39÷3=13

所以3就是288和123的最大公因数。