Question

tan∧2x的原函数

Answer 1

∫ tan2x dx

=∫ (sec2x-1) dx

=∫sec2xdx-∫dx

=tanx-x+C

中间用到了以下换算：

sec2x=tan2x+1

∫sec2xdx = tanx

扩展资料：

定理：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：

∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))

将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求，而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。当熟练掌握这一方法后，可以不必引入变量u.

由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可当作变量x的微分来对待，从而微分来对待，从而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一题目中已经这样用了，那里把积分∫F'(x)dx,记作∫dF(x),就是按微分F'(x)dx=dF(x),把被积表达式F'(x)dx.记作dF(x)。