Question

请教数学题；证明

Answer 1

设g(x,y)≥0。
若g(x,y)≡0，结论成立。
若g(x,y)不恒等于0，则∫∫g(x,y)dxdy>0。
f(x,y)在D上连续，所以有最大值M和最小值m。
因为
m≤
∫∫f(x,y)g(x,y)dxdy
/
∫∫g(x,y)dxdy≤M，所以由有界闭区域上连续函数的介值定理，得：
至少存在一点（ξ,η）∈D，使得
∫∫f(x,y)g(x,y)dxdy
/
∫∫g(x,y)dxdy
＝
f(ξ,η)。
所以，∫∫f(x,y)g(x,y)dxdy
=
f(ξ,η)∫∫g(x,y)dxdy