Question

求一道高中数学压轴题

Answer 1

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的不定积分，即 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$。已知 $F(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值为 $M$，最小值为 $m$，且 $m<M$。求证：存在 $c,d\in[a,b]$，使得 $f(c)=f(d)=\dfrac{M-m}{b-a}$。
证明：
首先，由于 $F(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值为 $M$，最小值为 $m$，所以有 $F(x)-m\le M-m$，即 $F(x)-m\le \dfrac{M-m}{b-a}(x-a)$。
令 $g(x)=F(x)-m-\dfrac{M-m}{b-a}(x-a)$，则有 $g(x)\le 0$。
由于 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，所以 $F(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上也连续，即 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续。
由于 $g(a)=F(a)-m-\dfrac{M-m}{b-a}(a-a)=F(a)-m\le 0$，$g(b)=F(b)-m-\dfrac{M-m}{b-a}(b-a)=F(b)-m\le 0$，所以 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最小值为 $0$。
若存在 $c,d\in[a,b]$，使得 $g(c)=g(d)=0$，则 $F(c)-m=\dfrac{M-m}{b-a}(c-a)$ 和 $F(d)-m
继续证明：
由于 $g(x)=F(x)-m-\dfrac{M-m}{b-a}(x-a)$，所以 $F(x)=g(x)+m+\dfrac{M-m}{b-a}(x-a)$。
将上式代入 $F(c)=F(d)$，得到：
$$g(c)+m+\dfrac{M-m}{b-a}(c-a)=g(d)+m+\dfrac{M-m}{b-a}(d-a)$$
化简得到：
$$g(c)-g(d)=\dfrac{M-m}{b-a}(d-c)$$
由于 $g(c)=g(d)=0$，所以 $\dfrac{M-m}{b-a}(d-c)=0$，即 $d=c$。
因此，存在 $c\in[a,b]$，使得 $g(c)=0$。
所以，有 $F(c)-m=\dfrac{M-m}{b-a}(c-a)$，即 $f(c)=\dfrac{M-m}{b-a}$。
证毕。

Answer 2

题目:d(∫0~x du∫0~u2-1f（t）dt)/dx
令F（u）＝∫0~u2-1 f（t）dt
所以原式＝d(∫0~x F（u）du)/dx
＝F（x）
将x代入F（u）得
F（x）＝∫0~x2-1 f（t）dt
这是根据楼主（叫我齐天大肾）思路写的，他太牛了！记得给他点赞（｡ò ∀ ó｡）！