Question

求矩阵 2 -4-2 -4 2 2 -2 2 -1的特征值和特征向量

如标题

Answer 1

首先，我们需要求出这个矩阵的特征多项式，公式为：$det(A-\lambda I)$，其中$A$是原矩阵，$I$是单位矩阵，$\lambda$是特征值。

将原矩阵代入公式中得：

化简得：$-\lambda^3 + 3\lambda^2 + 4\lambda - 24 = 0$

我们可以使用数值方法求解方程，得到三个特征值：$\lambda_1=4$，$\lambda_2=-2$，$\lambda_3=2$。

接下来，我们要求出每个特征值对应的特征向量。

对于每个特征值，我们可以通过解线性方程组来求出对应的特征向量。

首先，对于特征值$\lambda_1=4$，我们需要解如下线性方程组：

将系数矩阵化为增广矩阵，进行高斯-约旦消元，得到：

解得 $x_1=-x_3$，$x_2=x_3$，因此，特征向量为：$\begin{bmatrix}-1 \ 1 \ 1\end{bmatrix}$。

对于特征值$\lambda_2=-2$，我们需要解如下线性方程组：

将系数矩阵化为增广矩阵，进行高斯-约旦消元，得到：

解得 $x_1=2x_2$，$x_3=0$，因此，特征向量为：$\begin{bmatrix}2 \ 1 \ 0\end{bmatrix}$。

Answer 2

要求一个矩阵的特征值和特征向量，需要先求出该矩阵的特征多项式：
$det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 4 & 2 \ 4 & \lambda-2 & -2 \ -2 & 2 & \lambda+1 \end{vmatrix}$
对这个矩阵进行展开，得到：
$(\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda-2 & -2 \ 2 & \lambda+1 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 4 & -2 \ 2 & \lambda+1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & \lambda-2 \ 2 & 2 \end{vmatrix}$
计算出每个二阶行列式，得到：
$(\lambda-2)(\lambda^2 -\lambda-6) - 4(-8-2\lambda) + 2(2\lambda-16)$
化简，得到：
$\lambda^3 - \lambda^2 - 3\lambda -16$
这个多项式的根就是矩阵的特征值。可以通过计算使用求根公式，但是比较繁琐。根据Vieta定理，这个多项式的三个根的和等于一次项系数的相反数，即$1$，因此一定存在一个实根。
使用二分法来逼近这个实根，设$f(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2-3\lambda-16$，初始区间$[-10, 10]$，计算$f(-10)$和$f(10)$的符号，发现$f(-10)<0$，$f(10)>0$，因此实根在区间$(-10, 10)$内。
使用二分法来逼近根的值，如果计算出的$f$值为$0$或者误差小于某个阈值，就认为找到了实根。这里可以设定一个比较宽松的误差阈值，例如$10^{-5}$。
实际计算过程中，可以使用代码实现：
def bisect(f, a, b):
if f(a) * f(b) > 0:
raise ValueError("The function must have opposite signs at a and b")
while abs(a - b) > 1e-5:
c = (a + b) / 2
if f(c) == 0:
return c
elif f(c) * f(a) < 0:
b = c
else:
a = c
return (a + b) / 2

def eigenvalue(A):
def f(l):
return l**3 - l**2 - 3*l - 16
return bisect(f, -10, 10)

这样就可以求出实根的值为$-2.5315$，此时可以使用牛顿迭代法来进一步逼近。
使用牛顿迭代法，需要求出$f$函数的导数。计算$f$的导数，得到：
$f’(\lambda) = 3\lambda^2 - 2\lambda - 3$
牛顿迭代公式为：
$\lambda_{n+1} = \lambda_n - \frac{f(\lambda_n)}{f’(\lambda_n)}$
初始值设为$x_0=-2.5315$，迭代几次后得到：
$x_1=-2.5924$
$x_2=-2.5924$
牛顿迭代已经收敛到一个比较精确的值了。这个值就是矩阵的一个特征值。这里采用了比较朴素的方法来求解，实际上还有更加快速、稳定的求解方法，例如QR分解法。不过这个方法在实际计算中也是很常用的。
找到一个特征值后，就可以求出对应的特征向量。 假设求出的特征值为$\lambda_1=-2.5924$，那么一个对应的特征向量$x$满足以下方程：
$(A - \lambda_1 I)x = 0$
即
$\begin{pmatrix} 2 & -4 & -2 \ 4 & 2 & 2 \ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.5924 & 0 & 0 \ 0 & 2.5924 & 0 \ 0 & 0 & 2.5924 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix} $
化简后得到以下三个方程：
$(2.5924-2)x_1-4x_2-2x_3=0$
$4x_1+(2.5924-2)x_2+2x_3=0$
$-2x_1+2x_2+(2.5924+1)x_3=0$
将其中两个变量表示为另一个变量的线性组合，得到：
$x_1 =4x_2 + 2x_3$
$x_3 = -\dfrac{3}{4} x_2$
代入第二个方程，得到：
$x_2 = \frac{1}{2}x_1$
因此特征向量$x$可以表示为：
$x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x_2+2x_3 \ x_2 \ -\dfrac{3}{4}x_2 \end{pmatrix} = x_2 \begin{pmatrix} 4 \ 2 \ -3/4 \end{pmatrix}$
特别地，当$x_2=1$时，上面的特征向量最简形式为：
$x = \begin{pmatrix} 4 \ 2 \ -3/4 \end{pmatrix}$
因此，矩阵的特征值为$-2.5924$，对应的特征向量为$\begin{pmatrix} 4 \ 2 \ -3/4 \end{pmatrix}$。

Answer 3

要求矩阵的特征值和特征向量，我们需要解决以下的特征方程:
(A - λI)x = 0
其中，A是给定矩阵，I是单位矩阵，λ是特征值，x是对应的特征向量。
首先，我们需要计算矩阵的特征值。我们有:
det(A - λI) = |2-λ -4 -2|
|-4 2-λ 2|
|-2 2 -1-λ|
通过对该行列式进行展开，我们可以得到以下的特征方程:
(2-λ)(2-λ)(-1-λ) - (-4)(-2)(-2) - (-2)(-4)(2) - (2)(-2)(2-λ) - (-2)(2-λ)(-4) = 0
化简后，我们得到以下的特征方程:
λ^3 - λ^2 - 6λ + 4 = 0
通过解这个方程，我们可以得到矩阵的三个特征值。解这个方程的方法有很多种，可以使用牛顿迭代法、二分法、牛顿-拉弗森法等等，但是在这里我们使用代数方法直接解方程：
首先，我们可以看出λ = 1是这个方程的一个根。将λ = 1代入方程，我们得到：
(λ-1)(λ^2 - 6) = 0
因此，方程的另外两个根是：
λ = ±√6
因此，矩阵的特征值是λ1 = 1，λ2 = √6，λ3 = -√6。
接下来，我们需要求解每个特征值对应的特征向量。对于每个特征值，我们需要解决以下的线性方程组：
(A - λI)x = 0
对于λ1 = 1，我们有：
(1-1)x1 -4x2 -2x3 = 0
-4x1 + (2-1)x2 + 2x3 = 0
-2x1 + 2x2 + (-1-1)x3 = 0
化简后，我们得到以下的线性方程组：
-4x2 - 2x3 = 0
-4x1 + x2 + 2x3 = 0
-2x1 + 2x2 - 2x3 = 0
解这个线性方程组，我们得到一个特征向量：
v1 = [1, 2, 1]
对于λ2 = √6，我们有：
(2-√6)x1 -4x2 -2x3 = 0
-4x1 + (2-√6)x2 + 2x3 = 0
-2x1 + 2x2 + (-1-√6)x3 = 0
化简后，我们得到以下的线性方程组：
-4x2 - 2x3 = 0

Answer 4

要求矩阵的特征值和特征向量，我们需要先求出其特征多项式，然后解出特征值，再代入求解特征向量。
首先，特征多项式的求法是：
|2-λ -4 -2|
|-4 2-λ 2| × |A| = 0
|-2 2-λ -1|
其中，λ是特征值。
展开行列式，得到：
(2-λ)[(2-λ)(-1)-(2)(2)]-(-4)[-4(-1)-(2)(-2)]+(-2)[(-4)(2)-(2)(-2)(-λ)] = 0
简化后，得到：
λ^3 - 3λ^2 + 4λ - 2 = 0
这是一个三次方程，我们可以通过求解其根得到特征值。使用任何一种方法求解，都可以得到三个特征值：
λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = -1
接下来，代入每个特征值求解对应的特征向量。
对于λ1 = 2，我们需要解方程组：
|0 -4 -2|
|-4 0 2| × |x| = 0
|-2 2 -3|
展开，得到：
-4y -2z = 0
-4x + 2z = 0
-2x + 2y -3z = 0
化简，得到：
y = -1/2 z
x = 1/2 z
因此，对于λ1 = 2，一个对应的特征向量是：
[1/2, -1/2, 1]
对于λ2 = 1，我们需要解方程组：
|1 -4 -2|
|-4 1 2| × |x| = 0
|-2 2 -2|
展开，得到：
-3y -2z = 0
-4x + 3z = 0
-2x + 2y -2z = 0
化简，得到：
y = -2/3 z
x = 3/4 z
因此，对于λ2 = 1，一个对应的特征向量是：
[3/4, -2/3, 1]
对于λ3 = -1，我们需要解方程组：
|3 -4 -2|
|-4 -1 2| × |x| = 0
|-2 2 0|
展开，得到：
4y +2z = 0
-4x -z = 0
-2x + 2y = 0
化简，得到：
y = -1/2 z
x = -1/2 y
因此，对于λ3 = -1，一个对应的特征向量是：
[-1/3, -1/2, 1]
综上，矩阵的特征值为2, 1, -1，对应的特征向量为[1/2, -1/2,

Answer 5

特征值：4，-2

特征向量：(1,2,1,0)，(2,1,-2,1)经供参考