Question

5.已知+cosa/2=-3/5,且a∈(π,3/2π),求sin(a+π/3)的值？

5.已知
cosa/2=-3/5，且a∈（π，3/2π），求sin(a＋π/3)的值

Answer 1

已知+cosa/2=-3/5，代入三倍角公式，得到：
cos3a = 4cos³a - 3cosa = 4(2cosa/2 - 1)³ - 3(2cosa/2 - 1)
化简得：cos3a = 8cosa³/3 - 6cosa²/2 - 2cosa/3 + 1
代入已知条件，得到：
8cosa³/3 - 6cosa²/2 - 2cosa/3 + 1 = 8(2/5)³/3 - 6(2/5)²/2 - 2(2/5)/3 + 1
化简得：8cosa³/3 - 6cosa²/2 - 2cosa/3 = -187/125
移项并整理得：24cosa³ - 36cosa² + 10cosa + 225/25 = 0
化简得：8cosa³ - 12cosa² + 10cosa + 45/25 = 0
化简得：8cosa³ - 12cosa² + 10cosa + 9/5 = 0
由于a∈(π,3/2π)，因此sin(a+π/3) = sin(a+60°) = sin(3a/3 + 60°) = sin(π - 2a/3)
代入公式，得到：
sin(π - 2a/3) = sin2a/3
由于sin²a/3 + cos²a/3 = 1，因此我们可以先求出cos2a/3，再用勾股定理计算出sin2a/3。代入公式，得到：
cos2a/3 = cos²a/3 - sin²a/3 = (2cosa/2 - 1)² - (1 + cosa/2)²
化简得：cos2a/3 = 3/5
由勾股定理可得：
sin2a/3 = √(1 - cos²2a/3) = √(1 - 9/25) = 4/5
因此，sin(a+π/3)的值为sin2a/3 = 4/5。