Question

为什么圆柱体积等于圆锥体积的3分之1？

Answer 1

很多朋友或同学们并不懂积分。所以，在下用合理的逻辑，做简单的解释，具备初高中数学都可理解。如下：
首先给个圆柱，高H，底半径R（H与R非无穷大）。
然后，以它的底和高为基础在内部做个圆柱。
怎么比较二者体积呢？关键时刻来了

这里我们先给定几个定义，
1， 假定上帝存在；
2， 用上帝之刀平行于圆柱底均匀切割N次，使N无穷大，得到（N+1）个圆柱和圆锥的切面, 切面的厚度为H/（N+1）；
3， 无穷切, 使N无穷大到某程度，得到 Δr= R/N ,使得Δr为圆锥的元点半径（不能更小，类 似电子电荷（元电荷）电量）。这是逻辑上的关键，请深刻理解。

理解了以上定义，我们就可以知道相关计算数据了。对于圆锥的所有切面而言，
各切面半径从顶到底依次为0，Δr，2Δr，…mΔr，…NΔr=R（ 因为Δr已定义不可再分），
圆锥各切面面积从顶到底依次为0，πΔr^2,π(2Δr)^2……π（NΔr)^2，
各单切面体积依次是 切面面积*(H/(N+1))
故圆锥体积等于所有切面的体积加和
V锥=（πΔr^2）*(0+1+2^2+3^2+...+N^2) * (H/(N+1))
我们再来看看圆柱的体积。它是(N+1)个圆柱切面体积的加和，很简单
V柱=(N+1) * （πR^2）*（H/(N+1)）=(N+1) *（π（NΔr)^2）*（H/(N+1)）
故 V锥/ V柱=(0+1+2^2+3^2+...+N^2) / ((N^2)*(N+1))
根据数列知识，
V锥/ V柱=N*(N+1)*(2N+1)/6 / ((N^2)*(N+1))=1/3+1/(6 N)
故，N为无穷大时，V锥/ V柱=1/3