Question

[如何巧妙地进行分式通分]分式怎么通分

Answer 1

如何巧妙地进行分式通分

栏目：交流拓展 期别：初三复习版 姓名：黄春菊 程金海

地址：山东省青州市益都街道东高初级中学 E-mail:wfjh88@163.com 联系电话:[1**********]

通分是分式加减运算的主要环节，其方法灵活，技巧性大，综合性强。在进行加减运算时，若不加分析的采用一次性通分，往往运算比较麻烦；但若根据分式的分子、分母的结构特点，灵活巧妙地采取相应的通分方法和解题技巧，则可化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果。下面总结如下:

一、 整体通分。

将一个多项式视为一个整体，再与分式进行通分。 例1:计算a+2-解：a+2-42-a

42-a

-42-a

=

a +21

2001

=

2-a -42-a

22

=-

a

2

2-a

=

a

2

a -2

例2：计算：解：原式=二、 逐步通分

a a

a a

667

-1

-a 667-a 1334-1

667

2001

667

-1

-

a +a 1

1334

+1

=

a

2001

-(a a

667

2001

-1)

-1

=

1a

667

-1

当分式的各分母按一定的规律分布且存在某种递进关系，一次通分难度较大时，可以采取逐步通分。 例、化简：

==

21-a 20481-a

2

11-a +

-

11+a

2

+

11+a 1

4

2

+

11+a 1

8

4

+

11+a

8

+...... +

-

10241+a 20481-a

1024

-

20481-a

2048

1

1+a 1+a

2048

++

1+a

+...... +

10241+a

1024

2048

2048

-

1-a

2048

=0

三、分组通分。

一次性通分有困难时，可以把易于通分的分式组合在一起分组通分。 例题、化简：解:原式=(==

3ab a -b

3

3

1a +b

+

1a -b

-2

a -b a

2

2

1

+

a -b a -3ab

3

3

-

a -b

2

+ab +b

+ab +b a -ab +b 1a +b

-2)+() 2

a +b a -ab +b

-

a +b

2

2

a +b

6ab

6

46

a -b

四、提取公因式后通分

例1、化简：解：原式=

===

m -c (m-a)(m-b) m -c

+

b -c (a-b)(m-b)

+

b -c (b-a)(m-a)

(m-a)(m-b)

m -c (m-a)(m-b)

m -b (m-a)(m-b)

1m -a

+-

b -c a -b

.(

1m -b

-

1m -a

)

b -c (m-a)(m-b)

a

2000

1000

例2、化简：解：原式=

==

a

2000

-6a

a

2000

+8

++

a a

2000

1000

1000

-3a

a

+2

1000

1000

(aa

1000

-2)(a

1000

-4)

2000

(a

1000

-2)(a -1)

1000

a

1000

-2(a

2000

.

a

1000

-4

1000

-4)(a -1)

a (a

1000

+2a

1000

-4)(a

1000

-1)

五、局部通分。 例、化简：2001+

解：原式=2001+

a -2(2a

7

7

7

-3)(a -1)

a -2(a

7

77

+

3a -1(2a -3)(a 3a -1a +2

777

7+2

7

)

-7

2a +1(a

7

7

-1)(a +2)

7

1(2a

7

-3)

（

-1)

+) -

2a +1(a -1)(a +2) 2a +1

77

7

=2001+

1(2a

7

-3)

7

.

(2a +1)(2a -3) (a -1)(a +2)

2a +1

7

7

7

7

-

(a -1)(a +2)

77

=2001+

2a +1(a

7

-1)(a +2)

7

-

(a -1)(a +2)

77

=2001

六、分离整式后通分。

用多项式除法将各分式的分子降次，把分式化为整式和最简真分式的和，然后通分。

例题1、化简：

a +2a +1

-

a +4a +3

-

a +3a +2

+

a +5a +4

解：原式=

a +1+1a +3+1a +2+1a +1

11a +1

-

a +3

-

a +2

+

a +4+1a +41a +2

1a +4

=（1+=（=

a +1

）-（1+

1a +4

1a +3

1

）-（1++

1

）+（1+）

+）-（

a +3a +2

）

2a +5(a +1)(a +4)

-

2a +5(a +3)(a +2)

2

=（2a+5）.

(a +1)(a +4)(a +3)(a +2）

=

4a +10

(a +1)(a +2)(a +3)(a +4）

3

2

3

3

2

例题2、化简：

a -a -4a +1a -3a +2

-3

2

-

4a -16a -152a -3a -2]-[2a+3+

32a +1

2

+

6a +7a +3a -7

6a +a -1

]+[a+1+

2

3a -6

解：原式=[a+2+ =({ =

=

3a -1

3a -3-

-33a -1

3a -2

-3a -9(2a+1)(a -2)

3

-

33a -1

(a-1)(a -2)

3a -2

-

(2a+1)(3a -1)

]

) +() +(

2a +1

)

6a (a-1)(3a -1)

七、引进辅助字母后通分。 例、化简:

1a

2

+a -1

-

2a +a +1

2

+

1a +a +3

2

解：设k=a 2+a+1,则： 原式=

=

1k -2

-2k +

1k +2

k (k +2) -2(k -2)(k +2) +k (k -2)

k(k-2)(k +2) 8

k(k-2)(k +2)

=

8

=

(a

2

+a -1)(a +a +1)(a +a +3)

22

八、提出符号后通分。

例、化简：

（x +b) (x +c ) (a -b )(a -c )

+

(x +c )(x +a ) (b -c )(b -a )

+

(x +a )(x +b ) (c -a )(c -b )

解：原式=

（x +b) (x +c ) -(a -b )(c -a )

+

(x +c )(x +a ) -(b -c )(a -b )

+

(x +a )(x +b ) -(c -a )(b -c )

=

（x +b) (x +c （) b -c ) +(x +c )(x +a )(c -a ) +(x +a )(x +b )((a -b )

-(a -b )(c -a )(b -c )

2

2

2

2

2

2

2

=

（b -c +c -a +a -b ) x +(b -c +c +a -a -b ) x +bc (b -c ) +ca (c -a ) +ab (a -b )

-(a -b )(c -a )(b -c )

=

（b -c )(a -b )(a -c ) -(a -b )(c -a )(b -c )

=-1

九、化简后通分。

观察各分式的分子、分母的特征，把分子、分母分解因式，约分化简为最简分式后再

通分。

例、化简：

m +m n -m n -mn m n +mn

2

43222

33

+2m n

-

22

-

m -n -3m n +3mn

m n -n

2

2

3322

34

.

m +m n +mn m +n -2mn

2

322

22

解： =

m(m+n) (m -n ) mn (m +n +2mn ) m -n n

-m n

2

2

(m -n )

2

n (m -n )(m +mn +n )

.

m (m +mn +n )

(m -n )

2

2

=1

总而言之，究竟选用哪一种方法进行通分，要根据式子的结构特点，灵活的进行运用。