Question

设函数f(x)=lnx-(1/2)ax^2-bx,(1)当a=b=1/2时，求f(x)的最大值.

（2）当令F(x)=f(x)+1/2ax^2+bx+a/x,(0<a小于等于3），其图像上任意一点p(x0,y0)处切线的斜率k小于等于1/2恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=lnx-(1/4)x^2-(1/2)x(x>0)，f'(x)=1/x-(1/2)x-1/2=(2-x^2-x)/(2x)=-(x+2)(x-1)/(2x)。
当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)递减。
所以，f(x)的极大值(也是最大值)为f(1)=-3/4。
(2)F(x)=f(x)+1/2ax^2+bx+a/x=lnx+a/x(0<a<=3)。
F'(x)=1/x-a/x^2<=1/2，a>=-(1/2)x^2+x(x>0)恒成立。
设g(x)=-(1/2)x^2+x(x>0)，则g(x)的最大值为g(1)=1/2。
所以实数a的取值范围是[1/2,3]