罗尔定理,柯西定理,拉格朗日定理,中值定理

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2023-01-25
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罗尔定理

内容:

如果函数f(x)满足:

在闭区间[a,b]上连续;

在开区间(a,b)内可导;

在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.

几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明:

弧上至少有一点 ,曲线在该点切线是水平的.。

拉格朗日定理

内容:

如果函数 f(x) 满足:

1)在闭区间[a,b]上连续;

2)在开区间(a,b)内可导。

那么:在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),

使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

柯西定理

内容:

如果函数f(x)及F(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

(3)对任一x∈(a,b),F'(x)≠0

那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)

成立

[中值定理]分为: 微分中值定理和积分中值定理:

以上四个为微分中值定理定积分第一中值定理为:

f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)(存在a<ξ<b使得该式成立)
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