Question

产生泊松分布随机数的方法和步骤？

Answer 1

产生泊松分布随机数的方法有很多种，其中比较常用的是以下两种方法：

方法一：逆变换法（Inverse Transform Method）

逆变换法的基本思路是利用累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）和均匀分布随机数产生非均匀分布的随机数。对于泊松分布，其概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）可以表示为：

$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$

其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数，$k=0,1,2,...$。

泊松分布的累积分布函数为：

$$F(X\leq k)=\sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}$$

为了得到一个泊松分布随机数 $X$，我们可以先生成一个均匀分布随机数 $U$，然后通过下面的逆变换公式计算出 $X$：

$$X=\max{k:U \leq F(X\leq k)}$$

其中 $\max$ 表示取最大值，$k$ 是泊松分布的取值范围，从 $0$ 开始逐渐增加。

方法二：拒绝采样法（Rejection Sampling）

拒绝采样法的基本思路是构造一个可以包含目标分布的“包络线”分布，并利用该分布来生成目标分布的随机数。对于泊松分布，我们可以将其包含在参数为 $\lambda$ 的指数分布中，即：
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},& x=k\\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}$$
$$g(x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}, \quad x=0,1,2,\dots$$
则有：
$$\frac{f(x)}{cg(x)}=\begin{cases}
1/c, & x=0,1,2,\dots\\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}$$
其中 $c$ 是一个常数，需要满足 $c\geq 1$。由于 $c$ 是常数，可以事先计算出来，所以我们可以先生成一个指数分布随机数 $Y$，然后再生成一个均匀分布随机数 $U$，最后判断 $Y$ 是否被接受，即：
- 如果 $Y=k$ 且 $U\leq \frac{f(k)}{cg(k)}$，则接受 $k$ 作为泊松分布的随机数；
- 否则，重新生成 $Y$ 和 $U$。
通过不断地重新生成 $Y$ 和 $U$，直到得到一个符合条件的随机数为止。