11.若函数 f(x)=ax^2e^x-x-2lnx+1 有两个零点,则实数a的取值范围为-|||？
首先，我们知道一个二次函数 $ax^2+bx+c$ 在有两个不同的零点时，其判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 必须大于零。
对于函数 $f(x)=ax^2e^x-x-2\ln x+1$，它的两个零点可以表示为 $f(x1)=0$ 和 $f(x2)=0$。
将 $f(x)$ 对 $x$ 求导，得到：
$$f'(x)=2axe^x+ax^2e^x-1/x$$
令 $f'(x1)=f'(x2)=0$，可以得到：
$$2ax1e^{x1}+ax1^2e^{x1}-1/x_1=0$$
$$2ax2e^{x2}+ax2^2e^{x2}-1/x_2=0$$
将上面两个方程相减，可以得到：
$$2a(x1e^{x1}-x2e^{x2})+a(x1^2e^{x1}-x2^2e^{x2})-1/x1+1/x2=0$$
因为 $f(x1)=f(x2)=0$，所以：
$$ax1^2e^{x1}=x1+2\ln x1-1$$
$$ax2^2e^{x2}=x2+2\ln x2-1$$
将上面两个方程相减，可以得到：
$$a(x1^2e^{x1}-x2^2e^{x2})=x1-x2+2\ln\frac{x1}{x2}$$
将上面两个方程代入前面的式子，可以得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a(x1x2)e^{x1+x2}+\frac{x2}{x1x2}-\frac{x1}{x1x2}=0$$
化简得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a-\frac{1}{x_1}=0$$
因为 $f'(x1)=f'(x2)=0$，所以 $x1,x2$ 都是函数 $g(x)=2xe^x-1/x$ 的零点。函数 $g(x)$ 的一阶导数为 $g'(x)=2e^x(2x^2+2x-1/x^2)$，二阶导数为 $g''(x)=2e^x(4x^3+6x^2+1/x^3)$。因此，$g(x)$ 在 $x=-1$ 处有一个极小值，极小值为 $g(-1)=-4/e$。又因为 $g(x)$ 在 $x=0$ 处有一个极大值，极大值为 $g(0)=-1$。因此，$g(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,\infty)$ 上单调递增，在 $(-1,0)$ 上单调递减。
因此，当 $x1,x2$ 为函数 $g(x)$ 的两个零点时，它们的大小关系只有可能是 $x1<-1<x< em="">2<0$ 或者 $-1<x1<0<x< em="">2$。我们分别讨论这两种情况：
$x1<-1<x< em="">2<0$
$-1<x1<0<x< em="">2$
此时，$g(x1)<g(-1)$，$g(x< em="">2)>g(0)$。因此，$-1/g(x1)>-1/g(-1)$，$-1/g(x2)<-1/g(0)$。代入前面的式子，得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a+\frac{1}{g(x1)}-\frac{1}{g(x2)}>0$$
化简得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a-\frac{1}{g(x1)}+\frac{1}{g(x2)}<0$$
因为 $g(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,\infty)$ 上单调递增，在 $(-1,0)$ 上单调递减，因此 $-1/g(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,\infty)$ 上单调递减，在 $(-1,0)$ 上单调递增。因此，$-1/g(x1)>-1/g(x2)$。代入上面的式子，得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a-\frac{2}{g(x_2)}<0$$
因为 $g(x2)>g(0)$，所以 $-1/g(x2)<-1$。代入上面的式子，得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a+2<0$$
因为 $x1+x2<0$，所以 $a<-2/e^{x1+x2}$。又因为 $x1<-1<x< em="">2$，所以 $e^{x1+x2}<e^{-1}$。因此，$a<-2/e<0$。
此时，$g(x1)<g(0)$，$g(x< em="">2)>g(0)$。因此，$-1/g(x1)>-1/g(0)$，$-1/g(x2)<-1/g(0)$。代入前面的式子，得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a+\frac{1}{g(x1)}-\frac{1}{g(x2)}>0$$
化简得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a-\frac{1}{g(x1)}+\frac{1}{g(x2)}<0$$
因为 $g(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,\infty)$ 上单调递增，在 $(-1,0)$ 上单调递减，因此 $-1/g(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,\infty)$ 上单调递减，在 $(-1,0)$ 上单调递增。因此，$-1/g(x1)>-1/g(x2)$。代入上面的式子，得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a-\frac{2}{g(x_2)}<0$$
因为 $g(x2)>g(0)$，所以 $-1/g(x2)<-1$。代入上面的式子，得到：
$$a(x1+x2)e^{x1+x2}+2a+2<0$$
因为 $x1+x2>0$，所以 $a>-2/e^{x1+x2}$。又因为 $-1<x1<0<x< em="">2$，所以 $e^{x1+x2}>e^{-1}$。因此，$a>-2/e>0$。
综上所述，$a$ 的取值范围为 $-2/e<a<0$。
