Question

高一数学(急)

某工厂统计资料显示,产品次品率p与日产量x(件)的关系为p=2/(100-x)
(X∈N*,1≤x≤98),又知每生产一件正品盈利a元,每生产一件次品损失a/2元(a＞0).
(1)将该厂日盈利额T(元)表示为x(件)的函数.
(2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?

Answer 1

分析 本题涉及的量有：日产量、正品量、次品量、日盈利额、日正品盈利额、日次品损失额等6个．它们的关系是日产量=日正品量+日次品量，日盈利额=日正品盈利额-日次品损失额．

解 (1)设日产量为x个(x∈N)，则次品量为xp个，正品量为x-xp




当x＞100时p=1，全部产品均为次品，工厂不盈利，不合题意．










(2)由于A为常数且A＞0(否则不盈利)，故要使T最大，须且只需






















事实上，若x∈(0，100)且x∈N，x≠89，则




①当x∈(0，89)时，x-89＜0，808-9x＞0，所以T(x)＜T(89)．

②当x∈(89，100)时，x-89＞0，808=9x＜0，所以T(x)＜T(89)．

故当x∈(0，100)且x∈N，x≠89时，总有T(x)＜T(89)．

因此为了获得最大盈利，日产量应定为89个．

还可以这样证明：要证T(89)最大，只要证明x∈(0，89]时T(x)单调递增，而x∈[90，100)时T(x)单调递减．事实上，任取0＜x1＜x2＜100，




当0＜x1＜x2≤89时，x1－x2＜0，101-x1＞12，101-x2≥12，所以

3(101-x1)(101-x2)-404＞3×122-404＞0，

因此T(x1)＜T(x2)，函数T(x)在(0，89]上单调递增．

当90≤x1＜x2＜100时，x1-x2＜0，101－x1≤11，101-x2＜11，所以

3(101-x1)(101-x2)-404＜3×112-404＜0，

因此T(x1)＞T(x2)，函数T(x)在[90，100)上单调递减．




评述 本题是函数的应用题，第(2)问求最大盈利时的日产量又属于应用问题中最常见的最优化问题．解决此类问题一般分两步，首先根据题意恰当选择自变量并确定其取值范围，建立函数关系，得到在给定区间内求函数的最大、最小值的数学模型．第二步通常利用配方法、平均值不等式、函数的单调性、判别式法等数学方法求出函数在给定区间内的最值，以及达到最值时的自变量值．

对一个实际问题建模并求得其数学模型的解答后，需对这个解答进行检验，除了进行数学意义上的检验之外．还需进行实际意义上的检验．有时求得的解答从数学的意义上讲没有任何问题，但却不符合题目的实际意义，这一点必须给予充分地注意．