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10个典型例题掌握初中数学最值问题:初中数学经典例题讲解

Answer 1

10个典型例题掌握初中数学最值问题

解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短；

直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =则△PMN 的周长的最小值为 ．

【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长． ∵PC 关于OA 对称，

∴∠COP =2∠AOP ，OC =OP

同理，∠DOP =2∠BOP ，OP =OD

∴∠COD =∠COP +∠DOP =2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°，OC =OD ． ∴△COD 是等腰直角三角形． 则CD

．

【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN 周长最小的条件是解题的关键．

2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a =

【分析】因为AB ，PN 的长度都是固定的，所以求出P A +NB 的长度就行了．问题就是P A +NB 什么时候最短．

把B 点向左平移2个单位到B ′点；作B ′关于x 轴的对称点B ″，连接AB ″，交x 轴于P ，从而确定N 点位置，此时P A +NB 最短．

设直线AB ″的解析式为y =kx +b ，待定系数法求直线解析式．即可求得a 的值．

【解答】解：将N 点向左平移2单位与P 重合，点B 向左平移2单位到B ′（2，﹣1）， 作B ′关于x 轴的对称点B ″，根据作法知点B ″（2，1）， 设直线AB ″的解析式为y =kx +b ，

⎧1=2k +b 则⎨，解得k =4，b =﹣7．

-3=k +b ⎩

777

∴y =4x ﹣7．当y =0时，x =，即P （，0），a =．

444

7

故答案填：．

4

【题后思考】考查关于X 轴的对称点，两点之间线段最短等知识．

3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为 ．

【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．

【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，

过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．

【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．

4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC

边上可移动的最大距离为 ．

【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．

【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1．

则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2

【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．

5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．

【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF 最大，且点A 落在BD 上时，PD 最小；根据勾股定理求出BD 的长度，问题即可解决． 【解答】解：如图，

∵当点P 落在梯形的内部时，∠P =∠A =90°， ∴四边形PF AE 是以EF 为直径的圆内接四边形，

∴只有当直径EF 最大，且点A 落在BD 上时，PD 最小， 此时E 与点B 重合； 由题意得：PE =AB =8， 由勾股定理得： BD 2=82+62=80， ∴BD = ∴PD =8．

【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．

6．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为 ．

【分析】取AB 的中点E ，连接OD 、OE 、DE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE =AB ，利用勾股定理列式求出DE ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD 过点E 时最大． 【解答】解：如图，取AB 的中点E ，连接OD 、OE 、DE ， ∵∠MON =90°，AB =2 ∴OE =AE =

1

AB =1， 2

∵BC =1，四边形ABCD 是矩形， ∴AD =BC =1，

∴DE

根据三角形的三边关系，OD ＜OE +DE ，

∴当OD 过点E

．

．

【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD 过AB 的中点时值最大是解题的关键．

7．如图，线段AB 的长为4，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE ，那么DE 长的最小值是 ．

【分析】设AC =x ，BC =4﹣x ，根据等腰直角三角形性质，得出CD

=定理然后用配方法即可求解．

【解答】解：设AC =x ，BC =4﹣x ，

∵△ABC ，△BCD ′均为等腰直角三角形， ∴CD

x ，CD

′=（4﹣x ），根据勾股22

，CD

′=4﹣x ）， 121

x +（4﹣x ）2=x 2﹣4x +8=（x ﹣2）2+4， 22

∵∠ACD =45°，∠BCD ′=45°，

∴∠DCE =90°， ∴DE 2=CD 2+CE 2=

∵根据二次函数的最值，

∴当x 取2时，DE 取最小值，最小值为：4． 故答案为：2．

【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值． 8．如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为 ．

【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P 关于BD 的对称点P ′，连接P ′Q 与BD 的交点即为所求的点K ，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P ′Q ⊥CD 时PK +QK 的最小值，然后求解即可．

【解答】解：如图，∵AB =2，∠A =120°， ∴点P ′到CD 的距离为

∴PK +QK

【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．

9．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上的任意一点（可与B 、C 重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别为B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的取值范围是．

【分析】首先连接AC ，DP ．由正方形ABCD 的边长为1，即可得：S △ADP =S △ABP +S △ACP =S △ABC =

11S 正方形ABCD =，22

111

S 正方形ABCD =，继而可得AP •（BB ′+CC ′+DD ′）=1，又由1≤AP

222

答案．

【解答】解：连接AC ，DP ．

∵四边形ABCD 是正方形，正方形ABCD 的边长为1， ∴AB =CD ，S 正方形ABCD =1， ∵S △ADP =

1111S 正方形ABCD =，S △ABP +S △ACP =S △ABC =S 正方形ABCD =， 2222

∴S △ADP +S △ABP +S △ACP =1，

1111

AP •BB ′+AP •CC ′+AP •DD ′=AP •（BB ′+CC ′+DD ′）=1， 2222

2

则BB ′+CC ′+DD ′=，

AP

∵1≤AP

∴

∴当P 与B 重合时，有最大值2； 当P 与C

BB ′+CC ′+DD ′≤2．

BB ′+CC ′+DD ′≤2．

【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC ，DP ，根据题意得到S △ADP +S △ABP +S △ACP =1，继而得到BB ′+CC ′+DD ′=

2． AP

10．如图，菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =3，⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1，P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE +PF 的最小值是 ．

【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P 与D 重合时PE +PF 的最小值，进而求出即可． 【解答】解：由题意可得出：当P 与D 重合时，E 点在AD 上，F 在BD 上，此时PE +PF 最小， 连接BD ，

∵菱形ABCD 中，∠A =60°，

∴AB =AD ，则△ABD 是等边三角形， ∴BD =AB =AD =3，

∵⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1， ∴PE =1，DF =2，

∴PE +PF 的最小值是3． 故答案为：3．

【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P 点位置是解题关键．