Question

如何求极坐标下的曲线方程？

Answer 1

x = rcosθ，dx = xr * dr + xθ* dθ，xr表示x对r的偏导

= cosθ* dr - r*sinθ* dθ，同样

dy = sinθ* dr + r*cosθ* dθ

dx ^ dy = r*cosθ＊cosθ＊dr ^ dθ- r*sinθ＊sinθdθ^ dr

= r * (cosθ＊cosθ＋sinθ＊sinθ）* dr ^ dθ

= r dr ^ dθ

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。

极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）= ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ ± 2kπ）或（−r，θ ± (2k+ 1)π），这里k是任意整数。如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。