Question

在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是BC的中点，DE交AC延长线于点F，求证：AC·CF=BC·DF

在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是BC的中点，DE交AC延长线于点F，求证：AC·CF=BC·DF，速求答案！（最好能找到图片并发上来）
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Answer 1

我画的图∠A<∠B,反过来证明也成立。

取AC中点G，连EG

E是BC中点，∠EDC=∠ECD=∠A,△FDC相似于△FAD，有CF*AF=DF*DF
所以CF*(AC+CF)=DF*DF=CF*AC+CF*CF
G是AC中点，∠EGC=∠A=∠FDC,△FDC相似于△FGE,有EF*DF=FC*FG
所以(DF-DE)*DF=FC*(FC+CG)

代入DF*DF=CF*AC+CF*CF
所以CF*AC+CF*CF-DE*DF=FC*FC+FC*CG
即CF*(AC-CG)=DE*DF

CG=AC/2,DE=BC/2
所以CF*AC/2=BC*DF/2
所以AC*CF=BC*DF