Question

已知f（x）为二次函数 ，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表达式。求过程！

Answer 1

设f(x)=axx+bx+c，由于f(0)=0，所以c=0
于是f(x)=axx+bx，所以
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)=axx+bx+x+1
axx+(2a+b)x+a+b=axx+(b+1)x+1，
所以
2a+b=b+1
a+b=1
解得a=0.5,b=0.5
所以f(x)=0.5xx+0.5x

Answer 2

f(x)是二次函数，且f(0)=0
可设函数为 f(x)=ax^2+bx
由f(x+1)=f(x)+x+1
知x=0时 f(1)=f(0)+0+1=1即f(1)=1
x=1时 f(1+1)=f(1)+1+1即f(2)=3
代入得a+b=1,4a+2b=3从而得出
所以a=b=1/2

Answer 3

f（x）=x(x+1)/2
用数学归纳法：
当x=0时
f（0）=0*1/2=0成立
若f(k)=k(k+1)/2
则f（k+1）=[k(k+1)/2]+k+1
=(k+1)*(k+2)/2
所以f（x）=x(x+1)/2成立

Answer 4

f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=c=0

f(x)=ax^2+bx
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)
=f(x)+x+1=(ax^2+bx)+x+1
ax^2+2ax+a+bx+b=ax^2+bx+x+1
2ax+a+b=x+1
对应项系数相等
2a=1,a+b=1
所以a=b=1/2

f(x)=(1/2)x^2+(1/2)x

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因为f(x+1)=f(x)+x+1,所以f(x+1)-f(x)=x+1
从而,
f(1)-f(0)=1
f(2)-f(1)=2
f(3)-f(2)=3
.......
f(x-1)-f(x-2)=x-1
f(x)-f(x-1)=x
将这上面的x个式子相加得:
f(x)-f(0)=1+2+3+...+x=x(x+1)/2
所以,f(x)=f(0)+x(x+1)/2=x(x+1)/2为所求
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