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平行线性质的几例应用
王路
平行线的性质是研究与平行线相关角（同位角、内错角、同旁内角）相等或互补的重要依据，有着广泛的应用。现举例如下：
例1. 已知：如图1所示，AB//CD， ，则 _______。
图1
解：过点E作EF//AB
说明：本题考查平行线的性质，解题关键是作辅助线，易错点是过点E作EF//AB//CD，或忽视证明AB//EF//CD。
例2. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么 ABC=_______________。
解：如图2所示，画出方位图后，显然有两条平行直线，此时
图2
说明：本题考查平行线的性质，解题的关键是正确画出方位图。
例3. 如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数。
分析：如图3所示，本题主要考查的是平行线的性质，要清楚两个角的两边分别平行，那么这两个角或者相等或者互补。
图3
解：设其中一个角为x°，由题意，需列出两个方程：
故所求的两个角的度数分别为20°，20°或55°，125°。
说明：本题结论不惟一，需要加以分类讨论，应引起注意。
例4. 如图4所示，已知AB//CD，请你观察 之间有什么关系？证明你所得到的结论。
图4
分析：由AB//CD，得 ，易证 。
于是可得出结论 。
解：结论
证明如下：过点G作GF//BE。
则
说明：本题是一道结论探索题，主要考查平行线的性质以及辅助线的添置。对这类题，观察、探索的方法十分重要。
例5. 有7条直线两两相交，证明：在所有的交角中至少有一个角小于26°。
证明：如图5所示，设3条直线a、b、c两两相交，a与c交于点O。过点O作b’//b。
则 。
∴7条直线两两相交，必可过一点作7条直线与原7条直线平行，形成14个角（7组对顶角）。14个角的和恰等于360°。
如果这14个角都等于26°，则其和为：
26°×14=364°>360°，这是不可能的。
所以，至少有一个角小于26°。
图5
说明：通过过某一点作平行线，可以“聚零为整”；再通过运用“反证法”（假定这14个角都不小于26°，推出矛盾的结果）使问题迎刃而解。
年级 初中 学科 数学 版本 期数
内容标题 平行线性质的几例应用
分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学
主题词 平行线性质的几例应用 栏目名称 专题辅导
供稿老师 审稿老师
录入 韩素果 一校 胡丹 二校 审核
怎样比较有理数的大小
比较有理数大小的依据是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。其比较方法主要有以下几种：
方法一、利用数轴比较
对于给定的任意两个有理数，在数轴上总可找到对应的点，然后依据“右边的数总比左边的数大”的法则，就能确定它们的大小。这种“数形结合”的思想方法，在今后的学习中应用十分广泛，请同学们扎实掌握。
例1. 比较 与 的大小。
解：在数轴上表示 的点在表示 的点的右边，如图所示，所以 。
方法二、利用已知结论比较
这里的“已知结论”指诸如正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小，等等。利用上面结论比较有理数的大小是最常用的基本方法。
例2. 用“＜”联结下列各数：
解：先将各数与0比较，得
因为 ，而 ，所以 。
又因为 ，而 ，故 。
综上得 。
方法三、化成同分子比较
例3. 比较 的大小。
解：因为 ，而 ，知
即
方法四：作差比较法
由 ，分别可得到 结论。
例4. 比较 与 的大小。
解：因为
所以
方法五、作商比较法
设 皆为正数，则由 ，分别可得到 结论。
例5. 比较 与 的大小。
解：因为 ，知
所以
方法六、裂项比较法
将一个数分成两个数的和或差，称之为裂项。
例6. 比较 与 的大小。
分析：先比较 与 的大小，前面3种方法都可使用，但因2003、2004、2005三个数比较大，计算量就比较大，转而考虑 与 均小于1，但它们比1小多少呢？
解：因为 ，而
故 ，所以 。
年级 初中 学科 数学 版本 期数
内容标题 怎样比较有理数的大小
分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学
主题词 怎样比较有理数的大小 栏目名称 专题辅导
供稿老师 审稿老师
录入 李红英 一校 康纪云 二校 审核
学 科 数学 版 本 北师大版 期 数 5617
年 级 初一 编稿老师 梁湘义 审稿教师
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
第五章：一元一次方程
第六节：“希望工程”义演
第七节：能追上小明么
第八节：教育储蓄
二. 教学目标
知识与能力
1. 进一步体会方程模型的作用，提高分析问题，解决问题的能力。
2. 借助线段图分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。
3. 通过分析教育储蓄中的等量关系，经历运用方程解决实际问题的过程，能运用计算器处理实际问题中的复杂数据。
三. 重点及难点
重点
1. 找出等量关系，解决实际问题
2. 找出等量关系，列出方程，解决实际问题
难点
1. 探究多种解题方法
2. 找等量关系
四. 课堂教学
〔知识要点〕
（一）“希望工程”义演
某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，
共售出1000张票，其中成人票8元每张，儿童票5元每张，
筹得票款6950元，成人票与儿童票各售出多少张？
分析：售出的票包括成人票和儿童票，所得票款包括成人票款和儿童票款，因此这个问题中包含着下面两个等量关系：
成人票数＋儿童票数＝1000张 （1）
成人票款＋儿童票款＝6950元 （2）
设售出的儿童票为x张，填写下表：
儿童 成人
票数/张 x 1000－x
票款/元 5x 8（1000－x）
根据等量关系（2），可列出方程：
5x＋8（1000－x）＝6950
解得： x＝350
因此，售出成人票650张，儿童票350张。
设所得的儿童票款为y元，填写下表：
儿童 成人
票数/张 y5
6950-y8
票款/元 Y 6950－y
根据等量关系（1），可列出方程：
y5 ＋6950-y8 ＝1000
解得y＝1750
17505 ＝350
因此，售出成人票650张，儿童票350张。
（二）你能追上小明么
小明每天早上要在7点50赶到距家1000米远的学校上学，一天，小明以80米/秒的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/秒的速度
去追小明，并且在途中追上了他。
（1）爸爸追上小明用了多长时间?
（2）追上小明时，距离学校还有多远?
分析：当爸爸追上小明时，两人所行距离相等，在解决这个问题时，要抓住这个等量关系。
解：设爸爸追上小明用了x分
根据题意得： 180x＝80x＋80×5
化简，得： 100x＝400
x＝4
因此，爸爸用了4分钟追上小明
因为 180×4＝720米
所以 1000－720＝280米
追上小明时，距离学校还有280米。
（三）教育储蓄
定义：
1. 本金：顾客存入银行的钱
2. 利息：银行付给顾客的酬金
3. 本息和：本金与利息的和
4. 期数：存入的时间
5. 利率：每个期数内的利息与本金的比
6. 利息＝本金×利率×期数
7. 本息和＝本金（1＋利率×期数）
或本息和＝本金[1＋利率×期数×（1－利息税）]
为了准备小影6年后上大学的学费5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式（已知一年利率是2.25％，三年利率是2.70％，六年利率是2.88％）
（1）直接存一个6年期
（2）先存一个3年期，3年后将本息和自动转存一个3年期
你认为哪种方式开始存入的本金比较少？
设：开始存入的本金为x元。
如果按照第一种存储方式，那么列方程：
x（1＋2.88％×6）＝5000
化简，得：x≈4263
如果按第二种存储方式，那么
本金 利息 本息和
第一个3年期 x x×2.7％×3 x（1＋2.7％×3）＝1.081x
第二个3年期 1.081x 1.081x×2.7％×3 1.081x×（1＋2.7％×3）
第一个3年期后，本息和为：x（1＋2.7％×3）＝1.081x
第二个3年期后，本息和要达到5000元，由此可得
1.081x×（1＋2.7％×3）＝5000
1.168561x＝5000
x≈4279
就是说，开始大约存4280元，3年期满后将本息和再存一个3年期，6年后本息和能达到5000元。
因此，按第一种储蓄方式开始存入的本金少。
【典型例题】
例1. 小雨用55元买影碟和游戏碟共8张，其中影碟10元一张。游戏碟5元一张，他各买了多少张？他能否只花52元买下8张同样价位的碟。
分析：此题有两个等量关系：
影碟数＋游戏碟数＝8张
影碟款＋游戏碟款＝55元
解：如果设小雨买了x张影碟，则游戏碟数为（8－x）张，根据题意，列方程得：10×x＋5×（8－x）＝55
化简，得 ：x＝3
8－3＝5
即小雨买了3张影碟，5张游戏碟。
如果他只花了52元买下8张同样价位的碟，则
设小雨买了x张影碟，根据题意，列方程得：
10×x＋5×（8－x）＝52
化简，得： x＝2.4（不符合题意）
所以他不能只花52元买下8张同样价位的碟
例2. 不久前，共青团中央等部门发起了“保护母亲河”活动，某校团员共115名，积极参与，踊跃捐款，有一部分团员每人捐10元，其余团员每人捐4元。
（1）如果捐款总数是790元，那么捐10元的团员有多少人？
（2）捐款总数有可能是785元么？
分析：此题有两个等量关系：
部分团员＋其余团员＝115名
部分团员捐款数＋其余团员捐款数＝790元
（1）解，设捐10元钱的团员有x人，则其余团员有（115－x）人。
根据题意列方程，得：10x＋4（115－x）＝790
化简，得：10x－4x＝790－460
x＝55
115－55＝60
即捐10元钱的有55人，捐4元钱的有60人。
（2）解：设捐10元钱的团员有x人，则其余团员有（115－x）人
根据题意列方程，得：10x＋4（115－x）＝785
化简，得x≈54.2（不符合题意）
捐款不可能是785元。
例3. 甲乙二人在400米环形跑道上练习长跑，同时从同一地点出发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑几圈后，甲可以超过乙一圈？
分析：要想甲超过乙一圈，也就是说甲跑过的路程比乙多一圈，而我们知道跑道一圈长400米，而甲乙的运动时间相等，所以等量关系为：
甲的路程－乙的路程＝400
解：设甲超过乙一圈用了x秒。
根据题意列方程，得：6x－4x＝400
化简，得： x＝200
乙跑的圈数为： 4×200÷400＝2
即乙跑2圈后，甲超过乙一圈。
例4. 一队学生步行前往工厂参观，速度为5千米/小时，当走了1小时后，一名学生回学校取东西，他以7.5千米/小时的速度回学校，取了东西后（取东西的时间忽略不记）立即以同样的速度追赶队伍，结果在离工厂2.5千米处追上队伍，求该校到工厂的路程。
根据行程图，我们知道s1是该同学与队伍共同行走的路程，s2是该同学离开队伍后队伍单独行进的路程，s3是该同学离开队伍后自己所行的路程，
所以存在如下等量关系： s3－2s＝s2
解：设该同学自离开队伍到赶上队伍用了x小时，
根据题意列方程，得： 7.5x－2×5×1＝5x
化简，得： 7.5x－5x＝10
x＝4
即该同学用了4小时追上队伍，故学校到工厂的路程为：5×1＋5×4＋2.5＝27.5千米
例5. 某公司发行两年期债券，本单位一职工购买了5000元的债券，两年后扣除20％的利息税后，得到本息和为5400元，这种债券的年利率为多少？
分析：做这样的应用题，首先找到各个量之间存在的关系，
本金：5000元
期数：2年
利息税：20％
本息和：5400元
又知道本息和＝本金（1＋利率×期数×80％）
解：设这种债券的年利率为x。
根据题意列方程，得：5000×（1＋x×2×80％）＝5400
化简，得： 5000＋8000x＝5400
x＝0.05
即这种债券的年利率为5％。
例6. 爸爸和爷爷分别给东东存了3年期的教育储蓄，爸爸直接存了3年期，年利率为2.79％，爷爷先存了1年期，年利率为2.25％，第二年、第三年都是将上一年的本息和自动转存一年期的，三年后两人都给东东3000元，当年两人存入的本金各是多少？谁存入的本金多？
分析：此题的要点是爷爷分三年存的教育储蓄，那么要将每一年所得的本息和看作下一年的本金。
解：设爸爸存入的本金为x元，根据题意列方程，得：
x（1＋2.79％×3）＝3000
化简，得：1.0837x＝3000
x≈2768
设爷爷存入的本金为y元，
则第一年的本息和是y（1＋2.25％）＝1.0225y
第二年的本息和是1.0225y（1＋2.25％）＝1.0455y
根据题意，列方程，得：
1.0455y（1＋2.25％）＝3000
y≈2806
即爸爸存入的本金是2768元，爷爷存入的本金是2806元，
爷爷存入的本金多。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、填空
1. 两个课外活动小组共有70人，两个小组的人数比是3：4，如果人数较少的一组有x人，那么人数较多的一组有（ ）人，可列方程为（ ）。
2. 在一次数学竞赛中，竞赛试题共有25道，每道题都给4个答案，其中的只有一个答案正确，每道题答对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么它至少答对了（ ）道题。
3. 甲走mkm/h，乙走nkm/h，（m>n），两人同时同地出发，反向走xh后，他们之间的距离是（ ）km，两人同时同地同向出发yh后，他们之间的距离是（ ）km。
4. 甲步行于上午6时从A地出发，于下午5时到达B地，乙骑自行车于上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，则乙是在（ ）时追上甲的。
5. 甲、乙两人同时从某地出发到学校，甲步行5km/h，先出发1.5h后乙骑自行车，乙出发50min后，两人同时到达某地，则乙骑自行车的时速是（ ）。
6. 一艘轮船在静水中的速度是6km/h，水流的速度为2km/h，那么这艘轮船顺水而下的速度为（ ），逆流而上的速度为（ ）。
7. 星期日，几名同学约好到动物园去玩，一部分同学以每小时5千米的速度步行前往，0.5小时后，另一部分同学骑自行车出发，20分钟后，两部分同学同时到达动物园，则骑自行车同学的速度为（ ）。
8. 在执行国家规定存款利息的纳税办法后（利息的20％纳税），某人在2004年12月存入人民币若干元，年利率为2.25％，一年到期后将缴纳利息税72元，则他存入的人民币为（ ）。
9. 小明把100元压岁钱存入储蓄所，如果月息是1.875‰（表示千分之1.875），那么存了x月后，他把本息同时取出，能取到（ ）元钱。（不记利息税）
10. 某人五年前买了9000元的五年期国库券现已到期，兑付时本利和为12537元，则此种国库券的年利率为（ ）。
二、选择
1. 笼子里有一些鸡和兔，总共有32个头，106只脚，若设笼中有鸡x只，可列方程为（ ）。
A. 2x＋4（32－x）＝106 B. 4x＋2（32－x）＝106
C. 2x－4（32－x）＝106 D. 2x＋（32－x）＝106
2. 某校组织春游，共有1200名学生参加，若普通客车可容纳40人，加长客车每车可容纳60人，校方共准备了25辆汽车，1200名学生刚好坐满，则需普通客车、加长客车各（ ）辆。
A. 5，20 B. 20，5 C. 10，15 D. 15，10
3. 甲乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行，2h相遇，若乙每小时比甲少骑2.5km，则乙骑自行车的速度是（）
A. 20km B. 17.5km C. 15km D. 12.5km
4. 甲以5km/h的速度先走16min，乙以13km/h的速度追甲，那么乙追上甲的时间是（ ）
A. 10h B. 1\6h C. 80\13h D. 6h
5. 甲乙两人在操场上练习竞走，已知操场一圈为400米，甲走100m/min，乙走80m/min，现在两人同时同地同向出发xmin后第一次相遇，则下列方程中错误的是（ ）
A. （100－80）x＝400 B. 100x＝400＋80x
C. x\4－x\5＝1 D. 100x＋400＝80x
6. 父子二人每天早上去公园晨练，父亲从家出发跑步到公园需要30min，儿子只需20min，如果父亲比儿子早出发5min，儿子追上父亲需（）
A. 8min B. 9min C. 10min D. 11min
7. 张莹把400元钱存入银行，年利率为6.66％到期时张莹得到利息133.20元，她一共存了（ ）年
A. 6年 B. 5年 C. 4年 D. 3年
8. 爸爸买了年利率为13.96％的三年期债券，到期后可获得本息共2128.20元，他买债券花了（ ）
A. 1500元 B. 1600元 C. 1700元 D. 1800元
9. 张先生将1万元人民币存入银行，年利率为2.25％，利息税为20％，那么他存一年后本息和为（ ）
A. 10180元 B. 10225元 C. 180元 D. 225元
二、计算
1. 小军去商店给单位买办公用品，共用120元，钢笔每支5元，笔记本每本3.5元，已知笔记本买了20本，问钢笔共买了多少支？
2. 七年级三班学生参加义务劳动，原来每组8人，后来根据需要重新编组每组14人，这样比原来少3组，问这个班共有学生多少人？（用两种方法解答）
3. 两位同学从相距130km的A，B两地同时出发，骑车相向而行，4h相遇，乙比甲每小时的速度慢2.5km，求甲乙两人的骑车速度。
4. 今有12名旅客要往40km的火车站赶去，离开车时间只有3h了，他们的步行速度为4km/h，靠走路是来不及了，唯一可以用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为60km/h，这12名旅客能赶上火车么？
5. 某公司存入银行甲乙两种不同性质的存款20万元，甲种存款的年利率为1.4％，乙种存款的年利率为3.7％，该公司一年共得利息6250元，求甲乙两种存款各多少万元？
6. 老李购买价值5270元的一台家用电器，购买时首付1000元，以后每年付一次款，且每次付款数相等，经2年付清全部售价和欠款的利息，设年利率为4.5％（不记复利），问每次付款多少元？
【试题答案】
一、填空
1. 43 x x＋ 43 x＝70 2. 19
3. （m＋n）x （m－n）x 4. 13：20
5. 14km/h 6. 8km/h; 4km/h
7. 12.5km/h 8. 16000元
9. （100＋100×1.875‰x） 10. 7.86％
二、选择
1. A 2. D 3. C 4. B
5. D 6. C 7. B 8. A 9. A
三、计算
1. 设钢笔共买了X支，则5X＋3.5×20＝120 解得X＝10
2. 方法一：设这个班共有学生X人，则x8 ＝x14 ＋3 解得x＝56
方法二：设原来分为x组，则8x＝14（x－3），解得x＝7，7×8＝56
3. 设甲速度为xkm/h，则4（x＋x－2.5）＝130，解得x＝17.5. 乙速度为17.5－2.5
15km/h
4. （1）单靠汽车来回送旅客无法让12名旅客全部赶上火车（2）如果在汽车送前一趟旅客的同时，其他旅客先步行，不记其他时间的话，则12名旅客都能赶上火车
5. 设甲种存款是x万元，则x×1.4％＋（20－x） ×3.7％＝0.625，解得x＝5，则乙种存款
20－5＝15万元
6. 设每次付款x元，则1000＋x1+4.5％ ＋x1+4.5％×2 ＝5270解得x＝2278.1
【励志故事】
再试一次
什么东西比石头还硬，或比水还软？然而软水却穿透了硬石，坚持不懈而已。
有个年轻人去微软公司应聘，而该公司并没有刊登过招聘广告。见总经理疑惑不解，年轻人用不太娴熟的英语解释说自己是碰巧路过这里，就贸然进来了。总经理感觉很新鲜，破例让他一试。面试的结果出人意料，年轻人表现糟糕。他对总经理的解释是事先没有准备，总经理以为他不过是找个托词下台阶，就随口应道：“等你准备好了再来试吧”。
一周后，年轻人再次走进微软公司的大门，这次他依然没有成功。但比起第一次，他的表现要好得多。而总经理给他的回答仍然同上次一样：“等你准备好了再来试吧。”就这样，这个青年先后5次踏进微软公司的大门，最终被公司录用，成为公司的重点培养对象。
温馨提示：也许，我们的人生旅途上沼泽遍布，荆棘丛生；也许我们追求的风景总是山重水复，不见柳暗花明；也许，我们前行的步履总是沉重、蹒跚；也许，我们需要在黑暗中摸索很长时间，才能找寻到光明；也许，我们虔诚的信念会被世俗的尘雾缠绕，而不能自由翱翔；也许，我们高贵的灵魂暂时在现实中找不到寄放的净土……那么，我们为什么不可以以勇敢者的气魄，坚定而自信地对自己说一声“再试一次！”
再试一次，你就有可能达到成功的彼岸！
平行线性质的几例应用
王路
平行线的性质是研究与平行线相关角（同位角、内错角、同旁内角）相等或互补的重要依据，有着广泛的应用。现举例如下：
例1. 已知：如图1所示，AB//CD， ，则 _______。
图1
解：过点E作EF//AB
说明：本题考查平行线的性质，解题关键是作辅助线，易错点是过点E作EF//AB//CD，或忽视证明AB//EF//CD。
例2. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么 ABC=_______________。
解：如图2所示，画出方位图后，显然有两条平行直线，此时
图2
说明：本题考查平行线的性质，解题的关键是正确画出方位图。
例3. 如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数。
分析：如图3所示，本题主要考查的是平行线的性质，要清楚两个角的两边分别平行，那么这两个角或者相等或者互补。
图3
解：设其中一个角为x°，由题意，需列出两个方程：
故所求的两个角的度数分别为20°，20°或55°，125°。
说明：本题结论不惟一，需要加以分类讨论，应引起注意。
例4. 如图4所示，已知AB//CD，请你观察 之间有什么关系？证明你所得到的结论。
图4
分析：由AB//CD，得 ，易证 。
于是可得出结论 。
解：结论
证明如下：过点G作GF//BE。
则
说明：本题是一道结论探索题，主要考查平行线的性质以及辅助线的添置。对这类题，观察、探索的方法十分重要。
例5. 有7条直线两两相交，证明：在所有的交角中至少有一个角小于26°。
证明：如图5所示，设3条直线a、b、c两两相交，a与c交于点O。过点O作b’//b。
则 。
∴7条直线两两相交，必可过一点作7条直线与原7条直线平行，形成14个角（7组对顶角）。14个角的和恰等于360°。
如果这14个角都等于26°，则其和为：
26°×14=364°>360°，这是不可能的。
所以，至少有一个角小于26°。
图5
说明：通过过某一点作平行线，可以“聚零为整”；再通过运用“反证法”（假定这14个角都不小于26°，推出矛盾的结果）使问题迎刃而解。
年级 初中 学科 数学 版本 期数
内容标题 平行线性质的几例应用
分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学
主题词 平行线性质的几例应用 栏目名称 专题辅导
供稿老师 审稿老师
录入 韩素果 一校 胡丹 二校 审核
怎样比较有理数的大小
比较有理数大小的依据是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。其比较方法主要有以下几种：
方法一、利用数轴比较
对于给定的任意两个有理数，在数轴上总可找到对应的点，然后依据“右边的数总比左边的数大”的法则，就能确定它们的大小。这种“数形结合”的思想方法，在今后的学习中应用十分广泛，请同学们扎实掌握。
例1. 比较 与 的大小。
解：在数轴上表示 的点在表示 的点的右边，如图所示，所以 。
方法二、利用已知结论比较
这里的“已知结论”指诸如正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小，等等。利用上面结论比较有理数的大小是最常用的基本方法。
例2. 用“＜”联结下列各数：
解：先将各数与0比较，得
因为 ，而 ，所以 。
又因为 ，而 ，故 。
综上得 。
方法三、化成同分子比较
例3. 比较 的大小。
解：因为 ，而 ，知
即
方法四：作差比较法
由 ，分别可得到 结论。
例4. 比较 与 的大小。
解：因为
所以
方法五、作商比较法
设 皆为正数，则由 ，分别可得到 结论。
例5. 比较 与 的大小。
解：因为 ，知
所以
方法六、裂项比较法
将一个数分成两个数的和或差，称之为裂项。
例6. 比较 与 的大小。
分析：先比较 与 的大小，前面3种方法都可使用，但因2003、2004、2005三个数比较大，计算量就比较大，转而考虑 与 均小于1，但它们比1小多少呢？
解：因为 ，而
故 ，所以 。
年级 初中 学科 数学 版本 期数
内容标题 怎样比较有理数的大小
分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学
主题词 怎样比较有理数的大小 栏目名称 专题辅导
供稿老师 审稿老师
录入 李红英 一校 康纪云 二校 审核
学 科 数学 版 本 北师大版 期 数 5617
年 级 初一 编稿老师 梁湘义 审稿教师
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
第五章：一元一次方程
第六节：“希望工程”义演
第七节：能追上小明么
第八节：教育储蓄
二. 教学目标
知识与能力
1. 进一步体会方程模型的作用，提高分析问题，解决问题的能力。
2. 借助线段图分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。
3. 通过分析教育储蓄中的等量关系，经历运用方程解决实际问题的过程，能运用计算器处理实际问题中的复杂数据。
三. 重点及难点
重点
1. 找出等量关系，解决实际问题
2. 找出等量关系，列出方程，解决实际问题
难点
1. 探究多种解题方法
2. 找等量关系
四. 课堂教学
〔知识要点〕
（一）“希望工程”义演
某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，
共售出1000张票，其中成人票8元每张，儿童票5元每张，
筹得票款6950元，成人票与儿童票各售出多少张？
分析：售出的票包括成人票和儿童票，所得票款包括成人票款和儿童票款，因此这个问题中包含着下面两个等量关系：
成人票数＋儿童票数＝1000张 （1）
成人票款＋儿童票款＝6950元 （2）
设售出的儿童票为x张，填写下表：
儿童 成人
票数/张 x 1000－x
票款/元 5x 8（1000－x）
根据等量关系（2），可列出方程：
5x＋8（1000－x）＝6950
解得： x＝350
因此，售出成人票650张，儿童票350张。
设所得的儿童票款为y元，填写下表：
儿童 成人
票数/张 y5
6950-y8
票款/元 Y 6950－y
根据等量关系（1），可列出方程：
y5 ＋6950-y8 ＝1000
解得y＝1750
17505 ＝350
因此，售出成人票650张，儿童票350张。
（二）你能追上小明么
小明每天早上要在7点50赶到距家1000米远的学校上学，一天，小明以80米/秒的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/秒的速度
去追小明，并且在途中追上了他。
（1）爸爸追上小明用了多长时间?
（2）追上小明时，距离学校还有多远?
分析：当爸爸追上小明时，两人所行距离相等，在解决这个问题时，要抓住这个等量关系。
解：设爸爸追上小明用了x分
根据题意得： 180x＝80x＋80×5
化简，得： 100x＝400
x＝4
因此，爸爸用了4分钟追上小明
因为 180×4＝720米
所以 1000－720＝280米
追上小明时，距离学校还有280米。
（三）教育储蓄
定义：
1. 本金：顾客存入银行的钱
2. 利息：银行付给顾客的酬金
3. 本息和：本金与利息的和
4. 期数：存入的时间
5. 利率：每个期数内的利息与本金的比
6. 利息＝本金×利率×期数
7. 本息和＝本金（1＋利率×期数）
或本息和＝本金[1＋利率×期数×（1－利息税）]
为了准备小影6年后上大学的学费5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式（已知一年利率是2.25％，三年利率是2.70％，六年利率是2.88％）
（1）直接存一个6年期
（2）先存一个3年期，3年后将本息和自动转存一个3年期
你认为哪种方式开始存入的本金比较少？
设：开始存入的本金为x元。
如果按照第一种存储方式，那么列方程：
x（1＋2.88％×6）＝5000
化简，得：x≈4263
如果按第二种存储方式，那么
本金 利息 本息和
第一个3年期 x x×2.7％×3 x（1＋2.7％×3）＝1.081x
第二个3年期 1.081x 1.081x×2.7％×3 1.081x×（1＋2.7％×3）
第一个3年期后，本息和为：x（1＋2.7％×3）＝1.081x
第二个3年期后，本息和要达到5000元，由此可得
1.081x×（1＋2.7％×3）＝5000
1.168561x＝5000
x≈4279
就是说，开始大约存4280元，3年期满后将本息和再存一个3年期，6年后本息和能达到5000元。
因此，按第一种储蓄方式开始存入的本金少。
【典型例题】
例1. 小雨用55元买影碟和游戏碟共8张，其中影碟10元一张。游戏碟5元一张，他各买了多少张？他能否只花52元买下8张同样价位的碟。
分析：此题有两个等量关系：
影碟数＋游戏碟数＝8张
影碟款＋游戏碟款＝55元
解：如果设小雨买了x张影碟，则游戏碟数为（8－x）张，根据题意，列方程得：10×x＋5×（8－x）＝55
化简，得 ：x＝3
8－3＝5
即小雨买了3张影碟，5张游戏碟。
如果他只花了52元买下8张同样价位的碟，则
设小雨买了x张影碟，根据题意，列方程得：
10×x＋5×（8－x）＝52
化简，得： x＝2.4（不符合题意）
所以他不能只花52元买下8张同样价位的碟
例2. 不久前，共青团中央等部门发起了“保护母亲河”活动，某校团员共115名，积极参与，踊跃捐款，有一部分团员每人捐10元，其余团员每人捐4元。
（1）如果捐款总数是790元，那么捐10元的团员有多少人？
（2）捐款总数有可能是785元么？
分析：此题有两个等量关系：
部分团员＋其余团员＝115名
部分团员捐款数＋其余团员捐款数＝790元
（1）解，设捐10元钱的团员有x人，则其余团员有（115－x）人。
根据题意列方程，得：10x＋4（115－x）＝790
化简，得：10x－4x＝790－460
x＝55
115－55＝60
即捐10元钱的有55人，捐4元钱的有60人。
（2）解：设捐10元钱的团员有x人，则其余团员有（115－x）人
根据题意列方程，得：10x＋4（115－x）＝785
化简，得x≈54.2（不符合题意）
捐款不可能是785元。
例3. 甲乙二人在400米环形跑道上练习长跑，同时从同一地点出发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑几圈后，甲可以超过乙一圈？
分析：要想甲超过乙一圈，也就是说甲跑过的路程比乙多一圈，而我们知道跑道一圈长400米，而甲乙的运动时间相等，所以等量关系为：
甲的路程－乙的路程＝400
解：设甲超过乙一圈用了x秒。
根据题意列方程，得：6x－4x＝400
化简，得： x＝200
乙跑的圈数为： 4×200÷400＝2
即乙跑2圈后，甲超过乙一圈。
例4. 一队学生步行前往工厂参观，速度为5千米/小时，当走了1小时后，一名学生回学校取东西，他以7.5千米/小时的速度回学校，取了东西后（取东西的时间忽略不记）立即以同样的速度追赶队伍，结果在离工厂2.5千米处追上队伍，求该校到工厂的路程。
根据行程图，我们知道s1是该同学与队伍共同行走的路程，s2是该同学离开队伍后队伍单独行进的路程，s3是该同学离开队伍后自己所行的路程，
所以存在如下等量关系： s3－2s＝s2
解：设该同学自离开队伍到赶上队伍用了x小时，
根据题意列方程，得： 7.5x－2×5×1＝5x
化简，得： 7.5x－5x＝10
x＝4
即该同学用了4小时追上队伍，故学校到工厂的路程为：5×1＋5×4＋2.5＝27.5千米
例5. 某公司发行两年期债券，本单位一职工购买了5000元的债券，两年后扣除20％的利息税后，得到本息和为5400元，这种债券的年利率为多少？
分析：做这样的应用题，首先找到各个量之间存在的关系，
本金：5000元
期数：2年
利息税：20％
本息和：5400元
又知道本息和＝本金（1＋利率×期数×80％）
解：设这种债券的年利率为x。
根据题意列方程，得：5000×（1＋x×2×80％）＝5400
化简，得： 5000＋8000x＝5400
x＝0.05
即这种债券的年利率为5％。
例6. 爸爸和爷爷分别给东东存了3年期的教育储蓄，爸爸直接存了3年期，年利率为2.79％，爷爷先存了1年期，年利率为2.25％，第二年、第三年都是将上一年的本息和自动转存一年期的，三年后两人都给东东3000元，当年两人存入的本金各是多少？谁存入的本金多？
分析：此题的要点是爷爷分三年存的教育储蓄，那么要将每一年所得的本息和看作下一年的本金。
解：设爸爸存入的本金为x元，根据题意列方程，得：
x（1＋2.79％×3）＝3000
化简，得：1.0837x＝3000
x≈2768
设爷爷存入的本金为y元，
则第一年的本息和是y（1＋2.25％）＝1.0225y
第二年的本息和是1.0225y（1＋2.25％）＝1.0455y
根据题意，列方程，得：
1.0455y（1＋2.25％）＝3000
y≈2806
即爸爸存入的本金是2768元，爷爷存入的本金是2806元，
爷爷存入的本金多。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、填空
1. 两个课外活动小组共有70人，两个小组的人数比是3：4，如果人数较少的一组有x人，那么人数较多的一组有（ ）人，可列方程为（ ）。
2. 在一次数学竞赛中，竞赛试题共有25道，每道题都给4个答案，其中的只有一个答案正确，每道题答对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么它至少答对了（ ）道题。
3. 甲走mkm/h，乙走nkm/h，（m>n），两人同时同地出发，反向走xh后，他们之间的距离是（ ）km，两人同时同地同向出发yh后，他们之间的距离是（ ）km。
4. 甲步行于上午6时从A地出发，于下午5时到达B地，乙骑自行车于上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，则乙是在（ ）时追上甲的。
5. 甲、乙两人同时从某地出发到学校，甲步行5km/h，先出发1.5h后乙骑自行车，乙出发50min后，两人同时到达某地，则乙骑自行车的时速是（ ）。
6. 一艘轮船在静水中的速度是6km/h，水流的速度为2km/h，那么这艘轮船顺水而下的速度为（ ），逆流而上的速度为（ ）。
7. 星期日，几名同学约好到动物园去玩，一部分同学以每小时5千米的速度步行前往，0.5小时后，另一部分同学骑自行车出发，20分钟后，两部分同学同时到达动物园，则骑自行车同学的速度为（ ）。
8. 在执行国家规定存款利息的纳税办法后（利息的20％纳税），某人在2004年12月存入人民币若干元，年利率为2.25％，一年到期后将缴纳利息税72元，则他存入的人民币为（ ）。
9. 小明把100元压岁钱存入储蓄所，如果月息是1.875‰（表示千分之1.875），那么存了x月后，他把本息同时取出，能取到（ ）元钱。（不记利息税）
10. 某人五年前买了9000元的五年期国库券现已到期，兑付时本利和为12537元，则此种国库券的年利率为（ ）。
二、选择
1. 笼子里有一些鸡和兔，总共有32个头，106只脚，若设笼中有鸡x只，可列方程为（ ）。
A. 2x＋4（32－x）＝106 B. 4x＋2（32－x）＝106
C. 2x－4（32－x）＝106 D. 2x＋（32－x）＝106
2. 某校组织春游，共有1200名学生参加，若普通客车可容纳40人，加长客车每车可容纳60人，校方共准备了25辆汽车，1200名学生刚好坐满，则需普通客车、加长客车各（ ）辆。
A. 5，20 B. 20，5 C. 10，15 D. 15，10
3. 甲乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行，2h相遇，若乙每小时比甲少骑2.5km，则乙骑自行车的速度是（）
A. 20km B. 17.5km C. 15km D. 12.5km
4. 甲以5km/h的速度先走16min，乙以13km/h的速度追甲，那么乙追上甲的时间是（ ）
A. 10h B. 1\6h C. 80\13h D. 6h
5. 甲乙两人在操场上练习竞走，已知操场一圈为400米，甲走100m/min，乙走80m/min，现在两人同时同地同向出发xmin后第一次相遇，则下列方程中错误的是（ ）
A. （100－80）x＝400 B. 100x＝400＋80x
C. x\4－x\5＝1 D. 100x＋400＝80x
6. 父子二人每天早上去公园晨练，父亲从家出发跑步到公园需要30min，儿子只需20min，如果父亲比儿子早出发5min，儿子追上父亲需（）
A. 8min B. 9min C. 10min D. 11min
7. 张莹把400元钱存入银行，年利率为6.66％到期时张莹得到利息133.20元，她一共存了（ ）年
A. 6年 B. 5年 C. 4年 D. 3年
8. 爸爸买了年利率为13.96％的三年期债券，到期后可获得本息共2128.20元，他买债券花了（ ）
A. 1500元 B. 1600元 C. 1700元 D. 1800元
9. 张先生将1万元人民币存入银行，年利率为2.25％，利息税为20％，那么他存一年后本息和为（ ）
A. 10180元 B. 10225元 C. 180元 D. 225元
二、计算
1. 小军去商店给单位买办公用品，共用120元，钢笔每支5元，笔记本每本3.5元，已知笔记本买了20本，问钢笔共买了多少支？
2. 七年级三班学生参加义务劳动，原来每组8人，后来根据需要重新编组每组14人，这样比原来少3组，问这个班共有学生多少人？（用两种方法解答）
3. 两位同学从相距130km的A，B两地同时出发，骑车相向而行，4h相遇，乙比甲每小时的速度慢2.5km，求甲乙两人的骑车速度。
4. 今有12名旅客要往40km的火车站赶去，离开车时间只有3h了，他们的步行速度为4km/h，靠走路是来不及了，唯一可以用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为60km/h，这12名旅客能赶上火车么？
5. 某公司存入银行甲乙两种不同性质的存款20万元，甲种存款的年利率为1.4％，乙种存款的年利率为3.7％，该公司一年共得利息6250元，求甲乙两种存款各多少万元？
6. 老李购买价值5270元的一台家用电器，购买时首付1000元，以后每年付一次款，且每次付款数相等，经2年付清全部售价和欠款的利息，设年利率为4.5％（不记复利），问每次付款多少元？
【试题答案】
一、填空
1. 43 x x＋ 43 x＝70 2. 19
3. （m＋n）x （m－n）x 4. 13：20
5. 14km/h 6. 8km/h; 4km/h
7. 12.5km/h 8. 16000元
9. （100＋100×1.875‰x） 10. 7.86％
二、选择
1. A 2. D 3. C 4. B
5. D 6. C 7. B 8. A 9. A
三、计算
1. 设钢笔共买了X支，则5X＋3.5×20＝120 解得X＝10
2. 方法一：设这个班共有学生X人，则x8 ＝x14 ＋3 解得x＝56
方法二：设原来分为x组，则8x＝14（x－3），解得x＝7，7×8＝56
3. 设甲速度为xkm/h，则4（x＋x－2.5）＝130，解得x＝17.5. 乙速度为17.5－2.5
15km/h
4. （1）单靠汽车来回送旅客无法让12名旅客全部赶上火车（2）如果在汽车送前一趟旅客的同时，其他旅客先步行，不记其他时间的话，则12名旅客都能赶上火车
5. 设甲种存款是x万元，则x×1.4％＋（20－x） ×3.7％＝0.625，解得x＝5，则乙种存款
20－5＝15万元
6. 设每次付款x元，则1000＋x1+4.5％ ＋x1+4.5％×2 ＝5270解得x＝2278.1
【励志故事】
再试一次
什么东西比石头还硬，或比水还软？然而软水却穿透了硬石，坚持不懈而已。
有个年轻人去微软公司应聘，而该公司并没有刊登过招聘广告。见总经理疑惑不解，年轻人用不太娴熟的英语解释说自己是碰巧路过这里，就贸然进来了。总经理感觉很新鲜，破例让他一试。面试的结果出人意料，年轻人表现糟糕。他对总经理的解释是事先没有准备，总经理以为他不过是找个托词下台阶，就随口应道：“等你准备好了再来试吧”。
一周后，年轻人再次走进微软公司的大门，这次他依然没有成功。但比起第一次，他的表现要好得多。而总经理给他的回答仍然同上次一样：“等你准备好了再来试吧。”就这样，这个青年先后5次踏进微软公司的大门，最终被公司录用，成为公司的重点培养对象。
温馨提示：也许，我们的人生旅途上沼泽遍布，荆棘丛生；也许我们追求的风景总是山重水复，不见柳暗花明；也许，我们前行的步履总是沉重、蹒跚；也许，我们需要在黑暗中摸索很长时间，才能找寻到光明；也许，我们虔诚的信念会被世俗的尘雾缠绕，而不能自由翱翔；也许，我们高贵的灵魂暂时在现实中找不到寄放的净土……那么，我们为什么不可以以勇敢者的气魄，坚定而自信地对自己说一声“再试一次！”
再试一次，你就有可能达到成功的彼岸！
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一列慢车以每小时48千米的速度由A站开往B站，半小时后一列快车也从A站出发，以每小时60千米的速度开往B站，求快车开出多少小时后能追上慢车。
分析：本题中的数量关系式为“距离=速度 时间”，题中有两个对象（快车和慢车），已知它们的速度，求时间。若设快车开出x小时后能追上慢车，则快车行驶的时间为x小时，慢车行驶的时间为（x+0.5）小时，第三个量是路程，由于快车与慢车从同一地点（A站）出发，最后追上慢车，所以路程相等。因此，这道题的等量关系为：快车行驶的路程=慢车行驶的路程，根据这个等量关系可列出方程 。
_______________________________________________________一艘轮船从甲码头顺流而下，经5小时到达乙码头，若按原路逆流返回甲码头需6小时，已知水流速度为每小时2千米，求甲、乙两地的距离。
分析：本题中的数量关系式为“距离=速度*时间”，题中有两种情形（顺流行驶和逆流行驶），已知它们所用的时间，求路程。若设甲、乙两地的距离为x千米，第三个量为速度，根据顺流与逆流的速度关系可得等量关系为：顺流速度-水流速度=逆流速度+水流速度，可列出方程。
_______________________________________________________
已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过桥共用1分钟，整个火车在桥上时间40秒，求火车的速度（单位：米/秒）？
分析：本题中的数量关系式为“距离=速度 时间”，题中有两中情形（火车完全通过桥和整个火车都在桥上），已知它们所用的时间，求速度。若设火车的速度为x米/秒，第三个量为路程，根据两种情形行驶路程的关系可得等量关系为：火车完全通过桥所行驶的路程-整个火车都在桥上所行驶的路程=2*火车长，可列出方程 。这道题还要注意单位的统一。
____________________________________________________________________________________________
某工程有甲、乙两队完成，甲队独做要20天，乙队独做要30天完成。如果先由甲队独做8天，再由乙队独做3天，其余的由甲、乙两队合做还需几天才能完成？
分析：本题中的数量关系式为“工作总量=工作效率 工作时间”，工作总量看作单位1，题中有两个工程队（甲队和乙队），已知甲、乙独做所需的时间，即可知道它们的工作效率分别为 和 ，求工作时间。若设由甲、乙两队合做还需x天才能完成，则甲队共做了（8+x）天，乙对共做了（3+x）天，第三个量为工作总量，根据两队工作量的关系可得等量关系为：甲的工作量+乙的工作量=总工作量（单位1），可列出方程
_____________________________________________________
某车间做一批机器零件，按每天定额若干件计算，预计30天完成，技术革新后，劳动生产率提高120%，结果提前16天完成，并且还超额32件，原计划做机器零件多少件？
分析：本题中的数量关系式为“工作总量=工作效率 工作时间”，题中有两种方式（技术革新前即预计和技术革新后），已知革新前后所需的时间，求工作总量。若设原计划做机器零件x件，则革新后的工作总量为（x+32）件，第三个量为工作效率，根据革新前后工作效率的关系可得等量关系为：革新后的工作效率=生产率*革新前的工作效率，可列出方程。
____________________________________________________________________________________
商场销售某种商品，一月份销售了若干份，共获利润30000元；二月份把这种商品单价降低了0.4元，但销售量比一月份增加5000件，从而所获利润比一月份多2000元。调价前每件商品的利润是多少元？
分析：本题中的数量关系式为“总利润 = 每件商品利润 件数”，题中有两个月的销售情况（一月份和二月份），已知每个月的总利润，求每件商品的利润。若设调价前每件商品的利润是x元，则调价后每件商品的利润是（x-0.4）元，第三个量为商品的件数，根据一、二月份的销售量可得等量关系为：二月份的销售量-一月份的销售量=增加的销售量，可列出方程:
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一个工人接到一批零件任务，限期完成，他计划每小时做10个，就可超过任务3个；每小时做11个，就可提前1小时完成，他加工的零件是多少个？限期时间是多少小时？
分析：本题中的数量关系式为“工作总量=工作效率*工作时间”，题中有两种工作方式，已知他们的工作效率，求工作总量和工作时间。虽然要求两个量，但它们之间有直接的关系，可以设一元。这道题有两种设元方法，
方法一：若设他加工的零件是x个，则限期时间是[(x+3)/x]
(x/11+1)小时，第三个量为工作效率，根据两种方式工作时间的关系可得等量关系为：工作效率为每小时
10个所用的时间-工作效率为每小时11个所用的时间=1小时，可列出方程__________________________
方法二：若设限期时间是x小时，则他加工的零件 或 小时，第三个量为工作量，根据两种方式工作量的关系可得等量关系为：工作效率为每小时10个所做的工作量-工作效率为每小时11个所做的工作量
=3件，可列出方程______________________________________
现有甲、乙两种盐水，从甲种盐水中取240克，乙种盐水中取120克，制成盐水的浓度为8%。如果从甲种盐水中取80克，乙种盐水中取160克，制成盐水的浓度为10%。求甲、乙两种盐水的浓度。
分析：这道题要求两个量，且两个量之间没有直接的关系，不能设一元，但题中有两种配制方式，我们可以根据前面的方法，对两种方式个列一条方程。本题中的数量关系式为“溶剂=浓度*溶液”，已知溶液，设甲种溶液的浓度为x，乙种溶液的浓度为y，根据溶剂的关系得到等量关系为：甲种盐水中的含盐量+乙种盐水中的含盐量=配制成的盐水中的含盐的量，可列出方程组
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分析：本题中的数量关系式为“距离=速度 时间”，题中有两个对象（快车和慢车），已知它们的速度，求时间。若设快车开出x小时后能追上慢车，则快车行驶的时间为x小时，慢车行驶的时间为（x+0.5）小时，第三个量是路程，由于快车与慢车从同一地点（A站）出发，最后追上慢车，所以路程相等。因此，这道题的等量关系为：快车行驶的路程=慢车行驶的路程，根据这个等量关系可列出方程 。
_______________________________________________________一艘轮船从甲码头顺流而下，经5小时到达乙码头，若按原路逆流返回甲码头需6小时，已知水流速度为每小时2千米，求甲、乙两地的距离。
分析：本题中的数量关系式为“距离=速度*时间”，题中有两种情形（顺流行驶和逆流行驶），已知它们所用的时间，求路程。若设甲、乙两地的距离为x千米，第三个量为速度，根据顺流与逆流的速度关系可得等量关系为：顺流速度-水流速度=逆流速度+水流速度，可列出方程。
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已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过桥共用1分钟，整个火车在桥上时间40秒，求火车的速度（单位：米/秒）？
分析：本题中的数量关系式为“距离=速度 时间”，题中有两中情形（火车完全通过桥和整个火车都在桥上），已知它们所用的时间，求速度。若设火车的速度为x米/秒，第三个量为路程，根据两种情形行驶路程的关系可得等量关系为：火车完全通过桥所行驶的路程-整个火车都在桥上所行驶的路程=2*火车长，可列出方程 。这道题还要注意单位的统一。
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某工程有甲、乙两队完成，甲队独做要20天，乙队独做要30天完成。如果先由甲队独做8天，再由乙队独做3天，其余的由甲、乙两队合做还需几天才能完成？
分析：本题中的数量关系式为“工作总量=工作效率 工作时间”，工作总量看作单位1，题中有两个工程队（甲队和乙队），已知甲、乙独做所需的时间，即可知道它们的工作效率分别为 和 ，求工作时间。若设由甲、乙两队合做还需x天才能完成，则甲队共做了（8+x）天，乙对共做了（3+x）天，第三个量为工作总量，根据两队工作量的关系可得等量关系为：甲的工作量+乙的工作量=总工作量（单位1），可列出方程
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某车间做一批机器零件，按每天定额若干件计算，预计30天完成，技术革新后，劳动生产率提高120%，结果提前16天完成，并且还超额32件，原计划做机器零件多少件？
分析：本题中的数量关系式为“工作总量=工作效率 工作时间”，题中有两种方式（技术革新前即预计和技术革新后），已知革新前后所需的时间，求工作总量。若设原计划做机器零件x件，则革新后的工作总量为（x+32）件，第三个量为工作效率，根据革新前后工作效率的关系可得等量关系为：革新后的工作效率=生产率*革新前的工作效率，可列出方程。
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商场销售某种商品，一月份销售了若干份，共获利润30000元；二月份把这种商品单价降低了0.4元，但销售量比一月份增加5000件，从而所获利润比一月份多2000元。调价前每件商品的利润是多少元？
分析：本题中的数量关系式为“总利润 = 每件商品利润 件数”，题中有两个月的销售情况（一月份和二月份），已知每个月的总利润，求每件商品的利润。若设调价前每件商品的利润是x元，则调价后每件商品的利润是（x-0.4）元，第三个量为商品的件数，根据一、二月份的销售量可得等量关系为：二月份的销售量-一月份的销售量=增加的销售量，可列出方程:
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一个工人接到一批零件任务，限期完成，他计划每小时做10个，就可超过任务3个；每小时做11个，就可提前1小时完成，他加工的零件是多少个？限期时间是多少小时？
分析：本题中的数量关系式为“工作总量=工作效率*工作时间”，题中有两种工作方式，已知他们的工作效率，求工作总量和工作时间。虽然要求两个量，但它们之间有直接的关系，可以设一元。这道题有两种设元方法，
方法一：若设他加工的零件是x个，则限期时间是[(x+3)/x]
(x/11+1)小时，第三个量为工作效率，根据两种方式工作时间的关系可得等量关系为：工作效率为每小时
10个所用的时间-工作效率为每小时11个所用的时间=1小时，可列出方程__________________________
方法二：若设限期时间是x小时，则他加工的零件 或 小时，第三个量为工作量，根据两种方式工作量的关系可得等量关系为：工作效率为每小时10个所做的工作量-工作效率为每小时11个所做的工作量
=3件，可列出方程______________________________________
现有甲、乙两种盐水，从甲种盐水中取240克，乙种盐水中取120克，制成盐水的浓度为8%。如果从甲种盐水中取80克，乙种盐水中取160克，制成盐水的浓度为10%。求甲、乙两种盐水的浓度。
分析：这道题要求两个量，且两个量之间没有直接的关系，不能设一元，但题中有两种配制方式，我们可以根据前面的方法，对两种方式个列一条方程。本题中的数量关系式为“溶剂=浓度*溶液”，已知溶液，设甲种溶液的浓度为x，乙种溶液的浓度为y，根据溶剂的关系得到等量关系为：甲种盐水中的含盐量+乙种盐水中的含盐量=配制成的盐水中的含盐的量，可列出方程组
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