Question

如何理解高斯消元法解线性方程组的正确性

Answer 1

高斯消元法解线性方程组的的正确性可以从以下几个方面理解：

初等行变换不改变方程组的解：在进行高斯消元过程中，大家使用三种初等行变换：交换两行；将一行乘以一个非零常数；将一行加上另一行的若干倍这些变换不会改变方程组的解集，因为它们只是方程组的等价变换。

行阶梯形矩阵便于求解：通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，可以更容易地找到方程组的解。在行阶梯形矩阵中，每一行的主元（第一个非零元素）所在的列数大于上一行的主元所在的列数。

这种结构使得大家可以从最后一个方程开始，通过回代法（back substitution）逐个求解未知数。唯一解、无解或无穷多解：根据行阶梯形矩阵的结构，大家可以判断线性方程组的解的情况。

如果方程组的增广矩阵中没有形如 [0, 0, ..., 0 | b] (b ≠ 0) 的行，那么方程组至少有一个解。此时，如果方程组的未知数数量等于行阶梯形矩阵中非零行的数量，那么方程组有唯一解；否则，方程组有无穷多解。

高斯消元法的简介：

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。

一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。

消元法是将方程组中的一方程的未知数用含有另一未知数的代数式表示，并将其代入到另一方程中，这就消去了一未知数，得到一解；或将方程组中的一方程倍乘某个常数加到另外一方程中去，也可达到消去一未知数的目的。消元法主要用于二元一次方程组的求解。