Question

lnx=e∧x-lny求y/x的最小值

Answer 1

因为 lnx＝eˣ-lny

所以 lnx+lny＝eˣ

即: ln(xy)＝eˣ从而

利用已知等式，构造函数。

供参考，请笑纳。

Answer 2

首先，将lnx=e^x-lny变形一下，得到lnx + lny = e^x，然后可以对这个式子同时求导，得到：
1/x - 1/y * dy/dx = e^x
化简一下，得到：
dy/dx = y/x * (1 - e^x)
要使y/x的值最小，就是要使dy/dx等于0。因此，可以得到：
y/x * (1 - e^x) = 0
这个式子的解是：y/x = 0 或者 e^x = 1。
当y/x = 0时，显然y只能等于0，但是题目中要求y/x的最小值，因此需要考虑e^x = 1的情况。
e^x = 1时，x等于任意一个整数倍的2πi，也就是说x可以取0，2πi，4πi，-2πi，-4πi等。不过，题目中要求x>0，因此只能取x=0。
此时，原式化为：lnx - lny = 0，即ln(x/y) = 0，因此x=y，y/x=1，是最小值。
因此，y/x的最小值为1，在x=0，y=0时取得。