Question

求助！！高等数学极限证明！

lim┬(x→-∞)⁡〖e^x 〗 sinx=0 （解释一下，图片传不上去，此题就是e的x此方乘以sinx的极限等于0，x趋近于负无穷大），用极限的定义证明下，谢谢大虾了…………

Answer 1

①对任意 ε>0 ,
要使: |e^x*sinx - 0|= e^x*|sinx|< e^x < ε 成立，
只要：x < lnε
只要：x < -(|lnε|+1) ≤ - |lnε| ≤ lnε
②存在 M = |lnε|+1 > 0
③当 x<-M 时，
④恒有：|e^x*sinx - 0| < ε 成立。

∴ lim(x->-∞) e^x*sinx = 0

Answer 2

sin x 是有界的，e的x此方趋于0（当 x趋于负无穷）
有界的乘以趋于0的，自然极限为0.

Answer 3

0<=|lim┬(x→-∞)⁡〖e^x 〗 sinx|<=lim┬(x→-∞)⁡〖e^x 〗=0
夹逼准则的极限为零