Question

急求！高中数学 幂函数题

已知幂函数y=x^(m2-2m-3)，（m∈Z）在(0,+∞)上是减函数，求y的解析式并讨论单调性和奇偶性
2.已知f(x)=x^[1/(-n^2+2n+3)](n=2k,k∈Z) 的图像在[0,+∞]单调递减，解不等式f(x2-x)＞f(x+3)

Answer 1

解：
1. y=x^(m^2-2m-3)在(0，+∞)上是减函数，
∴m^2-2m-3<0, 解得 -1<m<3,m是整数，∴m=0,1,2.
(1)当m=0,2时，(m^2)-2m-3=-3,y=x^(-3)是奇函数。
当x<0时，x^(-3)<0,且在(0，+∞)上是减函数，
∴y=x^(-3)的单调减区间为(-∞，0)和(0，+∞)。
(2)当m=1时, m^2-2m-3=-4, y=x^(-4)是偶函数，在(-∞，0)是增函数。
2. f(x)=x^(-1/(n^2-2n-3))在(0，+∞)上是减函数，
∴n^2-2n-3>0，解得n<-1或n>3.
n=2k, ∴n^2-2n-3=4(k^2-k)-3>0, 是正奇数。
令n^2-2n-3=4(k^2-k)-3=p,则
f(x^2 -x)=(x^2 -x)^(-1/p)>(x+3)^(-1/p)
两端p次方得1/(x^2 -x)>1/(x+3),解得
x∈(-3,-1)∪(0,1)∪(1,+∞).