Question

把两个含有30度的直角三角形如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于F，问AF与BE是否垂直？

这是图，有点小

Answer 1

1）两个含有30度的直角三角形是△ABC和△BCE，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于F，问AF与BE是否垂直？

答：不一定垂直。

   只有一种情况是垂直的：即当AD是角A的平分线时AF才能与BE垂直。因为，角A的平分线也构成“30度的直角三角形”，所以，垂直。（见图一）

   但是，现在D点不固定，一旦离开角A的平分线，就不垂直了。 

2）两个含有30度的直角三角形是△ABC和△CDE，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于F，问AF与BE是否垂直？

答：也不一定垂直。

   只有，当CE=AC时，才能垂直（见图二）

   因为，当CE=AC时，△ABE是正△，大∠BEC=60，小∠DEC=30，所以。DE是大∠BEC的角平分线。所以DC=DF且DF垂直BE。∠DAC也=30且垂直BE。所以AF垂直BE。

   本题的画图就是这种情况，有误导。

3）CE不等于AC，就没有△ABE是正△的情况，以下的情况也不会出现，所以不垂直 （见图三）

Answer 2

垂直，在三角形EDC和三角形BCA中，因为角DEC＝角ABC=30度，角BCE=角BCA=90度，所以三角形DEC相似于三角形ABC.,所以EC/BC=DC/AC.在三角形BCE和三角形ACD中，因为EC/BC=DC/AC.，角BCA=角ACD=90度，所以三角形BcE相似于三角形ADC,所以角DAc=角EBC,在三角形BDE和三角形ADC中，因为DAc=角EBC,角BDF=角ADC,所以角BFD=角DCA＝90度，所以AF垂直BE