Question

高中向量数学题。急进。谢。

设向量a＝（－1，1），向量b＝（4，3），向量c＝（5，－2），(1)求证向量a于向量b不共线，并求向量a与向量b的夹角的余弦值。(2)求向量c在向量a上的投影。

Answer 1

（1）
a＝（x1，y1），向量b＝（x2，y2）， 共线的条件是x1*y2-x2*y1=0
所以 对于a和b, x1*y2-x2*y1=-3+4=1 不等0 所以不共线。
cos<a,b>（a,b夹角）=ab/(|a||b|)=(x1*x2+y1*y2)/[（根号2）*5]
=-1/[（根号2）*5]
=-（根号2）/10
（2）
先求cos<a,c>=ac/(|a||c|)=-7/根号58
则向量c在向量a上的投影
c cos<a,c>=-7/根号58（-1，1）=（7/根号58，-7/根号58）

Answer 2

（1）向量a=(-1，1)，b=(4，3)
∵(-1) ×3-1×4= -7≠0，
∴向量a与b不共线.
（向量a=(x1，y1)与向量b=(x2，y2)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0）

a•b=(-1) ×4+1×3= -1
|a|=√2，|b|=5
∴a与b的夹角的余弦值为-√2/10

（2）∵c•a=14，|a|=√2
∴向量c在向量a的投影=|c|×向量c与向量a的夹角的余弦值
=( c•a)/|a|
=7√2

Answer 3

(1),如果两个向量共线，那么两个向量叉积为0，即：
－1＊4－1＊3＝？0 显然，两者不共线。
余弦值：a.b/(|a|*|b|)=(-1*4+1*3)/(((-1)^2+1^2)^(1/2)+(4*4+3*3)^(1/2))
=-1/(2^(1/2)+5)
(2)a.c/|a|=-7/2^(1/2)