Question

2. 求微分方程 dy/dx=2x/y+y/x的通解；

Answer 1

😳问题 : 求微分方程 dy/dx=2x/y+y/x的通解；

👉微分方程

• 微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

• 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

• 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

👉微分方程的例子

1. 『例子一』  dy/dx =x
   

2. 『例子二』  y''+3y'+2y=0
   

3. 『例子三』  y'''= x
   

👉回答

• 由原式 dy/dx=2x/y+y/x

• 令 t=y/x

• 得出  y= tx

• dy/dx = x.dt/dx + t

dy/dx=2x/y+y/x

x.dt/dx + t = 2/t + t

dt/dx  = 2/t

2dx = tdt

• 两边取积分

2x = t^2 +C

2x = (y/x)^2 +C

• 得出结果
  

微分方程 dy/dx=2x/y+y/x的通解 : 2x = (y/x)^2 +C

😄: 微分方程 dy/dx=2x/y+y/x的通解 : 2x = (y/x)^2 +C

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