Question

已知：如图，在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的中线，点M、N分别是BD、CE的中点，求证：BC=4MN

Answer 1

证明：设CE,BD交点为O.
因为AE=BE,AD=CD
所以BC=2BE,BC//DE
所以角EDO=角DBC，角DEC=角BCE，
所以三角形DEB与三角形BCO相似
所以BO/BD=BC/EO=2
所以BO=2/3BD,OD=1/3BD
MO=BM-BO=1/6BD=1/2OD
即OD=2OM,
同理可得OE=2ON
所以三角形ODF与三角形OMN相似，相似比为2
所以MN/DE=OM/OD=1/2
所以BC=2EO=4MN

Answer 2

证明：连接DE，作MP‖BC交CE于N'交CD于P
在△ABC中
∵E、D分别是AB、AC的中点，∴ED‖BC且ED=0.5BC
在△DBC中
∵M是DB的中点，MP‖BC，∴P是DC的中点且MP=0.5BC
在△CDE中
∵P是CD的中点，PN'‖DE，
∴N'是CE的中点，N'与N重合，
且NP=0.5DE=0.25BC
最后 MN=MP-NP=0.5BC-0.25BC=0.25BC
∴BC=4MN