高一集合题
设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式...
设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式
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令x=y,
f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)
f(0)=f(x)-x(2x-x+1)
1=f(x)-x(x+1)
f(x)=x(x+1)+1=x^2+x+1
f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)
f(0)=f(x)-x(2x-x+1)
1=f(x)-x(x+1)
f(x)=x(x+1)+1=x^2+x+1
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根据f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)及f(0)=1令x=0得到
f(0-y)=f(0)-y(2*0-y+1)=1-y(-y+1)=1+y(y-1)=y^2-y+1
所以f(-y)=y^2-y+1,令u=-y则
f(u)=u^2+u+1
所以f(x)=x^2+x+1
f(0-y)=f(0)-y(2*0-y+1)=1-y(-y+1)=1+y(y-1)=y^2-y+1
所以f(-y)=y^2-y+1,令u=-y则
f(u)=u^2+u+1
所以f(x)=x^2+x+1
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