Question

高数微分方程问题 如图这个微分方程怎么解？

Answer 1

求微分方程 y''-y=4cosx的通解；
解：齐次方程 y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根为 r₁=1，r₂=-1；
故齐次方程的通解(即余函数)为：y=c₁e^x+c₂e^(-x)；
设其特解为：y*=acosx+bsinx；
则 y*'=-asinx+bcosx；y*''=-acosx-bsinx；
代入原式得：-acosx-bsinx-(acosx+bsinx)=4cosx
化简得：-2acosx-2bsinx=4cosx；∴-2a=4，a=-2，b=0；
∴ y*=-2cosx；
故通解为：y=c₁e^x+c₂e^(-x)-2cosx；

Answer 2

1. 取特解y*=c1 cosx带人得到y''=-c1cosx, y''-y = -2c1cosx = 4cosx, c1=-2
   

2. y''-y=0得到特征方程s^2-1=0, s=1, s=-1，所以y''-y=0通解为c2 e^x +c3 e^(-x)

3. 所以最后的解为c2e^x +c3e^(-x) -2cosx
   

Answer 3

方法如下图所示，请作参考，祝学习愉快：