Question

求解一道高数证明题，要求解题步骤，谢谢！O(∩_∩)O~好的可加分

设在上半平面D={（x,y)|y＞0}内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=0. (积分区域为L)
请写出解题步骤，万分感谢！

Answer 1

由于封闭，函数f(x,y)具有连续偏导数，满足格林公式
∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=
=二重积分[-2f(x,y)-fx(x,y)-fy(x,y)]，积分区域为D 。。。。（1）
而前者路积分为0的充要条件就是积分与路径无关
也就是yf(x,y)dx - xf(x,y)dy是某函数的全微分
那么满不满足yf(x,y)dx - xf(x,y)dy是某函数的全微分？
那么就要看条件了，条件有对任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).
对t取特殊值也成立，分别取t为x，y
有f（x，y）=x^2f(x^2,xy)=y^2f(xy,y^2)

yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=

Answer 2

在上半平面D={（x,y)|y＞0}内，函数f(x,y)具有连续偏导数，
∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=-∫∫[2f(x,y)+xf'x(x,y)+yf'y(x,y)]dσ

对任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).
df(tx,ty)/dt=xf'tx(tx,ty)+yf'ty(tx,ty)]=-2t^(-3) f(x,y).
令t=1
xf'x(x,y)+yf'y(x,y)=-2f(x,y)

有2f(x,y)+xf'x(x,y)+yf'y(x,y)=0
∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=-∫∫[2f(x,y)+xf'x(x,y)+yf'y(x,y)]dσ=0