Question

高中函数解析式！

f(x+1)=2^2-2x-15 求f(x)
一共有三种方法，我只看明白一种。

一种是换元法
设x+1=t则x=t-1
f(t)=(t-1)^2-2(t-1)-15
=t^2-2t+1-2t+2-15
=t^2-4t-12
f(x)=x^2-4x-12
这上面的我都看明白了.
但是还有一种

“凑的办法”不知道为什么这样写.求详解！
f(x+1)=(x+1)^2-2x-1-2x-15
=(x+1)^2-4x-16
=(x+1)^2-4(x+1)+4-16
=(x+1)^2-4(x+1)-12
f(x)=x^2-4x-12

还有一种不明白的是待定系数法
下面是从教程上抄写下来的求详解！

设f(x)=ax^2+bx+c
为什么设置二次三项式呢？
因为：复合函数由f(x)与一次函数x+1复合，所以f(x)
必为二次函数，所以f(x)设成ax^2+b+c

则f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c
=ax^2+(2a+b)x+a+b+c
又因为f(x+1)=x^2-2x-15
所以ax^2+(2a+b)x+a+b+c=x^2-2x-15

令a=1,2a+b=2,a+b+c=-15
a=1,b=-4,c=-12

所以f(x)=x^2-4x-12

一点也看不懂啊，什么是复合函数？.. 晕晕晕
f(x+1)=2^2-2x-15 求f(x)
抱歉 写错了 应该是f(x+1)=X^2-2x-15 求f(x)

Answer 1

这是三种求函数解析式的比较常见的基本方法

凑的方法就是将已知的解析式化成由自变量表达的式子,如
f(x)=x^2-4x-12的自变量是x,右边的表达式正是由自变量x表达的解析式
而本题f(x+1)=x^2-2x-15的自变量不是x,而是x+1,右边的表达式不是由自变量x+1表达的,所以要将其化成(或者叫"凑")x+1表达的式子,然后将x+1由x替代，替代后的自变量就不再是x+1,而是x了.

待定系数法:
因为一元二次方程的通式是y=ax^2+bx+c(初中代数中应该学过),不过初中学的是y是x的函数,其中x是自变量。而高中要学的表达式换成了f(x)=ax^2+bx+c.初中学习的知识里自变量是不变的固定的就是x，而高中学习的知识里自变量是可以由别的函数式子代替（比如本题中的x+1代替了x,以后还会有更复杂的替代),其实高中的就是在初中的基础上拓宽了点而已.复合函数就是自变量由别的函数替代后形成的新函数,本题中x+1就可以看成是一个函数,这个函数作为自变量代替了原自变量x后形成了一个新的函数,这个新函数的表达式是f(x+1)=x^2-2x-15而不再是原来的表达式了.不要被f(x+1)这种表达形式弄糊涂.其实也可以写成y(x+1)的,表明y是x+1的函数,x+1才是自变量.虽然右边的表达式x^2-2x-15表面看上去还是由x表达的,但x不再是自变量,这个式子是化简后才得到的式子.
高中函数一章刚开始的确能唬住很多人,其实只要认识到自变量是可以由别的函数代替或者说自变量本身也可以表达成别的自变量的函数就很简单了.
上面所说的弄懂后待定系数法就很简单了.祝你学习进步

Answer 2

原来是f(x+1)=x^2-2x-15
右边化为(x+1)^2 + g(x)，其中g(x)待定
所以x^2-2x-15 = (x+1)^2 + g(x) = x^2 + 2x + 1 + g(x)
所以g(x) = -4x - 16
然后把-4x - 16凑成关于x+1的表达式，是-4(x+1)-12
所以最后是f(x+1) = (x+1)^2 + g(x) = (x+1)^2 -4(x+1) - 12
把x+1换成t，所以是：f(t) = t^2-4t-12
因为字母对f不影响，所以把t换成x，就是f(x)=x^2-4x-12

具体的Hi我

Answer 3

第一种你看明白了我就不说了，第二种凑方法意思就是 把等式右边的未知数X凑成与左边的X+1使得函数等式变成f（x+1），再用等价还原法把x+1用x代替就可以求得f（x）的函数等式。

第三种复合的意思就是 f（x）和x+1组成的是一个复合函数，f（x+1）能够用一次函数x+1和函数f（x）来表示，所以他们的复合函数f（x+1）是一个符合函数，而且必是一个2次函数。理解这个定义后面相信你也看的明白了。

Answer 4

为什么设置二次三项式呢？
因为f(x)以x为自变量最高次数是2次，
那么以x+1为自变量，(x+1)^2=x^2+2x+1，最高次数还是2次
所以可以设置成2次3项式

如果f(x)=ax^2+bx+c，g(x)=x+1
那么f[g(x)]=f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c即为复合函数
也就是函数g(x)的值是函数f(x)的自变量。

Answer 5

f(x+1)=2x^2-2x-15 就是将f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c这样的函数展开整理后得到的表达式。
换句话说，本来f(x+1)=这边应该都是和(x+1)相关的表达式；为什么变成了2x^2-2x-15 呢，是因为把右边(x+1)相关的表达式相乘并展开整理了