Question

已知函数f(x)是奇函数,函数g(x)为偶函数,f(x)-g(x)=2x-1,则f(x)的表达式为

已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)为偶函数,f(x)-g(x)=2x-1，则f(x)的表达式为

Answer 1

f(-2)=-f(2)=0
故有f(-2)=f(0)=f(2)=0，
f（1-x）=f（1+x），则f(x)在x∈[0,0]上必有一对称轴x=-1。根据周期性及f(x)的奇偶性，知f(x)的所有对称轴为。于是在一个周期[-2,2]上，f(x)有两个对称轴x=-1和x=1，f(x)为周期为4的奇函数解：g(-x)=f(-2x-1)=-f(2x+1)=g(x)=f(2x-1)
故f(2x+1)=-f(2x-1)
则f(2x+3)=f[2(x+1)+1]=-f[2(x+1)-1]=-f(2x+1)=-[-f(2x-1)=f(2x-1)]
令2x-1=t。f(0)=f(1-1)=f(1+1)=f(2)=0，于是有f(t+4)=f(t)，也即有
f(x+4)=f(x)，则2x+3=t+4,2]上有对称轴x=1。根据奇函数的对称性，f(x)在x∈[-2