Question

无界数列是否一定发散？

Answer 1

当然了，可以用反证法证明，
设数列{an}收敛于a，那么由极限定义，一定存在正整数N，当n>N时，有|an - a| < 1,即有 当n>N时，a-1 < an < a+1,又令M，m分别为前N-1项中的最大值与最小值，那么有对任意的正整数n有,min{a-1,m} <= an <= max{a+1,M}
即数列{an}有界，从而无界数列一定发散。
注：证明中的“1”可以是任何正整数
min{a,b},max{a,b}分别表示两个数中的较小值和较大值

Answer 2

1.
无界数列是否一定发散?
无界数列一定发散，数列有界是数列存在极限的必要条件。
2.
发散数列是否一定无界?
发散的数列不一定是无界数列，
例如数列{(-1)^n}是发散的，但对一切n，有|(-1)^n|<=1，是有界数列。