Question

请问常微分方程化解，求积分问题

划横线这一步如何求来的，求详细解答，谢谢。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

求微分方程 dz/dx=-(6/x)z+x的通解。
解：先求齐次方程dz/dx+(6/x)z=0的通解：
分离变量得：dz/z=-(6/x)dx；
积分之得：lnz=-6lnx+lnc₁=ln(c₁/x^6)
故齐次方程的通解为：z=c₁/x^6;
将c₁换成x的函数u，得 z=u/x^6..........①
两边对x取导数得：dz/dx=[(x^6)u'-6ux^5)]/x^12=(xu'-6u)/x^7..........②
将①②代入原式并化简得：u'=x^7；故u=∫(x^7)dx=(1/8)x^8+c.........③
将③代入①时即得原方程的通解为：z=(1/8)x²+cx^(-6)；
或写成：z=(1/8)x²+(c/x^6) ;