Question

数学难题，求解

a、b、c属于R+，abc=1，求证：1/a+1/b+1/c+3/（a+b+c）大于等于4
难吧！？

Answer 1

令A=1/a,B=1/b,C=1/c;A>0,B>0,C>0;

则ABC=1/(abc)=1;

1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)

=A+B+C+3/(1/A+1/B+1/C)

=A+B+C+3(ABC)/(BC+AC+AB)

=A+B+C+3/(AB+BC+AC)

(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2*(AB+BC+AC)

因为：2*(A^2+B^2+C^2)≥2*(AB+AC+BC)

所以：3*(AB+AC+BC)≤(A+B+C)^2

所以：(A+B+C)+3/(AB+AC+BC)≥(A+B+C)+9/(A+B+C)^2

令x=A+B+C;

则原题化求：x+9/x^2,的最小值问题。

由于x=A+B+C≥3*(ABC)^(1/3)=3; 即x≥3,

设函数y(x)=x+9/x^2;(定义域x≥3)：

dy/dx=1-18/x^3;(x≥3);dy/dx≥1-18/27>0

所以函数y(x)=x+9/x^2的最小值在x=3时取得，

即y(x)≥y(3)=3+9/9=4;

所以

1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)

=A+B+C+3/(AB+BC+AC)

≥(A+B+C)+9/(A+B+C)^2

≥4； 当且仅当A+B+C=3时等号成立，即A=B=C=1或a=b=c=1,时等号成立。