Question

用定义证明数列的极限

用定义证明 lim n^2/3^n =0(n->正无穷） 分子是n平方 分母是 3的n次方！

Answer 1

证明：
关键在于缩放。
用定义证明既是需要证，对任意小的正数ε，一定存在某个正整数M,使得n＞M时，有
|n²/3^n - 0| ＜ ε
记 an=n²/3^n,则有
a(n+1)/an
= [(n+1)²/3^(n+1)] / [n²/3^n]
= (n+1)²/3n²
令 a(n+1)/an ＜ 1/2
有 (n+1)² ＜ 3n² , 得 n ≥ 5
∴ 当 n≥5时 ，an ≤ a5 · (1/2)^(n-5)

∴ 当n＞M时，
|n²/3^n - 0| ＜ ε
<==> n²/3^n ＜ ε
<== a5·(1/2)^(n-5) ＜ ε
<== n ＞ log_(1/2)(ε/a5) + 5
∴ 取 M = [log_(1/2)(ε/a5) + 5] + 1 即可。