Question

在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=4an+1-4an,n∈N*

（1）设bn=am+1-2an,求证:｛bn｝是等比数列
（2）求｛an｝的通项公式

老师写的提示：(1)∵a1=1,a2=5
∴bn+1/bn=an+2+2an+1/am+1-2an
=4an+2-4an-2an+1/an+1-2an
=

Answer 1

由方程式可得： An+2 - 2An+1 = 2An+1 - 4An = 2( An+1 - 2An )

也即 Bn+1 / Bn = (An+2 - 2An+1) / (An+1 - 2An) = 2

B1 = A2 - 2A1 = 5-2 = 3

所以： Bn = 3 * 2^(n-1)

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Bn = An+1 - 2An = 3 * 2^(n-1)

所以 An+1 = 3 * 2^(n-1) + 2An

= 3 * 2^(n-1) + 2[ 3 * 2^(n-2) + 2An-1 ]

= 3 * 2^(n-1) + 3 * 2^(n-1) + 4An-1
= 3 * 2^(n-1) + 3 * 2^(n-1) + 3 * 2^(n-1) + 8An-2
=...
= n * 3 * 2^(n-1) + 2^n * A1
= (3n + 2A1) * 2^(n-1)
= (3n + 2) * 2^(n-1)

所以 An = (3n - 1) * 2^(n-2)

Answer 2

因为bn=an+1-2an,an+2=4an+1-4an所以
bn+1/bn=an+2-2an+1/an+1-2an=4an+1-4an-2an+1/an+1-2an=2an+1-4an/an+1-2an=2,即bn的公比为2,bn是等比数列。