Question

函数的基本性质 高一数学题

设f(x)是定义在R上的函数,对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x) X f(y),当x大于0时,有0小于f(x)小于1。
(1)求证:f(0)=1，且当x小于0时,f(x)大于1。
(2)证明:f(x)在R上单调递减

Answer 1

一取x=O因为对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x) X f(y),则恒有f(0+y)=f(0) X f(y),即恒有f（y）=f（0）×f（y）则f（0）＝1
令x＜0则1=f（0）=f（x-x）=f（x）×f（-x）因为 -x＞0则 0＜f（-x）＜1 所以f（x）＞1
二在R上任取a,b令a＜b 由一得f（x）＞0则由f(x+y)=f(x) X f(y),得f(x+y)÷f(x) = f(y),得f（x）÷f（y）=f（x-y）
则f（a）÷f（b）=f（a-b）因为a-b＜0所以f（a-b）＞1即f（a）＞f（b）所以f(x)在R上单调递减

Answer 2

1.
令Y=0,f(X)=f(X)*f(0),f(0)=0 再令y=-x,f(0)=f(x)*f(-x)=1
又当x大于0时,有0小于f(x)小于1,所以当x小于0时,f(x)大于1(x<0,-x>0)
2.
由题知道f(x)>0,设X1>X2,f(X1)=f(X2+X1-X2)=f(X2)*f(X1-X2)
f(X1)-f(X2)=f(X2)*{f(X1-X2)-1}
因为{f(X1-X2)-1}<0,f(X2)>0 所以 f(X1)-f(X2)<0,f(X)为减函数

Answer 3

(1) f(x+y)=f(x)*f(y),
取x=0,y=0,代入上式，则f(0+0)=f(0)*f(0) 则 f(0)=1或f(0)=0,
但若 f(0)=0,则对R内任一元素x,f(0)恒等于0，故f9