求证:f(x)=（根号（X的平方+1））-x在R上递减
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f(x)=√（x²+1）-x
设x1，x2∈R，x2＞x1
f(x2)-f(x1)=√（x2²+1）-x2-√（x1²+1）+x1
=√（x2²+1）-√（x1²+1）-（x2-x1）
=[（x2²-x1²）/（√（x2²+1）+√（x1²+1））]-（x2-x1）
=（x2-x1）{[（x1+x2）/（√（x2²+1）+√（x1²+1））]-1}
∵√（x2²+1）＞x2，√（x1²+1））]＞x1
∴√（x2²+1）+√（x1²+1））＞x1+x2
有）（x1+x2）/（√（x2²+1）+√（x1²+1））＜1
[（x1+x2）/（√（x2²+1）+√（x1²+1））]-1＜0，x2-x1＞0
∴f(x2)-f(x1)＜0
结论成立
设x1，x2∈R，x2＞x1
f(x2)-f(x1)=√（x2²+1）-x2-√（x1²+1）+x1
=√（x2²+1）-√（x1²+1）-（x2-x1）
=[（x2²-x1²）/（√（x2²+1）+√（x1²+1））]-（x2-x1）
=（x2-x1）{[（x1+x2）/（√（x2²+1）+√（x1²+1））]-1}
∵√（x2²+1）＞x2，√（x1²+1））]＞x1
∴√（x2²+1）+√（x1²+1））＞x1+x2
有）（x1+x2）/（√（x2²+1）+√（x1²+1））＜1
[（x1+x2）/（√（x2²+1）+√（x1²+1））]-1＜0，x2-x1＞0
∴f(x2)-f(x1)＜0
结论成立
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