Question

在△ABC中，点D E F分别在BC,AB,AC上，BE=CF，△DEB与△DFC的面积相等。求证AD平分∠BAC

Answer 1

做DM、DN垂直于AB，AC
BE=CF，△DEB与△DFC的面积相等
所以
DM=DN,
而角AMD=角AND=90
AD=AD
所以三角形AMD全等于AND
AD平分BAC

Answer 2

证明：过D点做BE边上的高DM,过D点做CF边上的高DN，
因为△BDE的面积=△DCF的面积
△BDE的面积=BE×DM×1/2
△DCF的面积=CF×DN×1/2
又因为BE=CF
所以DM=DN
又DM⊥AB,DN⊥AC
AB,AC为∠CAB的两边
所以AD为∠CAB的角平分线

Answer 3

证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N
∵DM⊥AB，DN⊥AC
∴S△DEB＝BE×DM/2，S△DFC＝CF×DN/2
∵S△DEB＝S△DFC
∴BE×DM/2＝CF×DN/2
∵BE＝CF
∴DM＝DN
∴AD平分∠BAC