Question

将抛物线y=x²向下平移后，设它与x轴的两个交点分别为A.B,且抛物线的顶点为C. 1)若三角形ABC为等边三

1)若三角形ABC为等边三角形，求此抛物线的解析式
（2）若三角形ABC为等腰直角三角形，求此抛物线的解析式

Answer 1

设C点坐标(0,-n) (其中n>0)
则，抛物线的解析式：y=x^2-n
设A(-m,0),B(m,0) (其中m>0)
则：AB=2m, OC=n
m^2-n=0, m=根号n

(1)
若三角形ABC为等边三角形
AB=(根号3)OC/2
m=(根号3)n/2
n=4/3
抛物线的解析式: y=x^2-(4/3)

(2)
三角形ABC为等腰直角三角形
AB=2OC
m=2n
n=1/4
抛物线的解析式: y=x^2-(1/4)

Answer 2

解：设将原函数图象向下平移c个单位，则函数表达式为y=x²-c。代入y=0，A、
B两点坐标分别为(-√c,0)和(√c,0)。此时OB=√c,OC=c.
(1)若△ABC为等边三角形，有OC=√3OB，即√3×√c=c。
解得c=3或c=0（舍去）∴解析式为 y=x²-3
(2)若△ABC为等腰直角三角形，则有OC=OB，即√c=c。
解得c=1或c=0(舍去) ∴解析式为 y=x²-1