高二物理题,急

原题是:带电荷量均为+Q的两点电荷A,B固定在绝缘的光滑平面上,两者相距为2L,试讨论点A,B连线上和AB中垂线MN上场强的变化情况。(1)且不论。(2)为求中垂线上如图... 原题是:
带电荷量均为+Q的两点电荷A,B固定在绝缘的光滑平面上,两者相距为2L,试讨论点A,B连线上和AB中垂线MN上场强的变化情况。(1)且不论。(2)为求中垂线上如图E的最大值是多少,极值点在哪里即求角α的值)。
有答案说据图易得ON上任一点的场强表达式为:E=2kQsinαcos^2α/L^2。然后采用特殊方法求极值,即先求出E^2,然后再求得E的极值为4× 根号3 ×kQ/9L^2.
我的问题是:据上解析已知求出sinαcos^2α的最大值即是E max的解。
试求sinαcos^2α的最大值方法。
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Ben小_孩
2010-09-16 · TA获得超过5199个赞
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此题分析起来还是比较容易的。但要运用到数学导数的知识。

解:E1q=kqQ/(Lcosα)^2
所以E1=kQ(cosα)^2/L^2
同理E2=kQ(cosα)^2/L^2
把两个场强分解为水平方向和竖直方向
水平方向上两个分量大小相等,方向相反。
竖直方向上合场强为2kQsinα(cosα)^2/L^2
所以E=2kQsinα(cosα)^2/L^2

然后就是求最值了,因为表达式中只有α这一个变量,那么就构造一个关于α的函数:令f(x)=sinα(cosα)^2
求它的导函数f'(x)=sinα(-2sinαcosα)+(cosα)^3
在令导函数等于0,求它的极值点。
解得此时sinα=(根号3)/3
cosα= (根号6)/3
此时函数取极大值,且是最大值。
所以Emax=2kQsinα(cosα)^2/L^2=4kQ×(根号3)/ 9L^2

PS:如果你无法判定函数取的是极大值还是极小值,教你一个很简单的方法,那就是取极限,当α等于0时,sinα(cosα)^2=0小于你解出来的那个解,同样当α取90度时,sinα(cosα)^2=0也小于【(根号3)/3】×【(根号6)/3】,所以是极大值还是极小值一目了然。
中大爱协
2010-09-17 · TA获得超过123个赞
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这一题可以用均值不等式来解答,我直接跟你说说后面sinαcos^2α的最大值的求解吧:令X=sinαcos^2α,则X^2=sin^2αcos^4α=4sin^2α·1/2cos^2α·1/2cos^2α<=4[(sin^2α+1/2cos^2α+1/2cos^2α)/3]^3=4/27,再开方即得到X的最大值Xmax=2根号3/9,其余的过程我相信你都会的。
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