Question

高二物理题，急

原题是：
带电荷量均为+Q的两点电荷A，B固定在绝缘的光滑平面上，两者相距为2L，试讨论点A,B连线上和AB中垂线MN上场强的变化情况。（1）且不论。（2）为求中垂线上如图E的最大值是多少，极值点在哪里即求角α的值）。
有答案说据图易得ON上任一点的场强表达式为：E=2kQsinαcos^2α/L^2。然后采用特殊方法求极值，即先求出E^2，然后再求得E的极值为4× 根号3 ×kQ/9L^2.
我的问题是：据上解析已知求出sinαcos^2α的最大值即是E max的解。
试求sinαcos^2α的最大值方法。

Answer 1

此题分析起来还是比较容易的。但要运用到数学导数的知识。

解：E1q=kqQ/(Lcosα)^2
所以E1=kQ(cosα)^2/L^2
同理E2=kQ(cosα)^2/L^2
把两个场强分解为水平方向和竖直方向
水平方向上两个分量大小相等，方向相反。
竖直方向上合场强为2kQsinα(cosα)^2/L^2
所以E=2kQsinα(cosα)^2/L^2

然后就是求最值了,因为表达式中只有α这一个变量，那么就构造一个关于α的函数：令f(x)=sinα(cosα)^2
求它的导函数f'(x)=sinα(-2sinαcosα)+(cosα)^3
在令导函数等于0，求它的极值点。
解得此时sinα=（根号3）/3
cosα= (根号6）/3
此时函数取极大值，且是最大值。
所以Emax=2kQsinα(cosα)^2/L^2=4kQ×(根号3）/ 9L^2

PS:如果你无法判定函数取的是极大值还是极小值，教你一个很简单的方法，那就是取极限，当α等于0时，sinα(cosα)^2=0小于你解出来的那个解，同样当α取90度时，sinα(cosα)^2=0也小于【(根号3）/3】×【(根号6）/3】，所以是极大值还是极小值一目了然。

Answer 2

这一题可以用均值不等式来解答，我直接跟你说说后面sinαcos^2α的最大值的求解吧：令X=sinαcos^2α，则X^2=sin^2αcos^4α=4sin^2α·1/2cos^2α·1/2cos^2α<=4[(sin^2α+1/2cos^2α+1/2cos^2α)/3]^3=4/27,再开方即得到X的最大值Xmax=2根号3/9,其余的过程我相信你都会的。