Question

一道线性代数题

线L通过点(1,-2,-1)与平面 x+3y-z=0 平行，同时与另一条线 (x, y, z) = (1+t, 2-t, 3+t) 相交，请问L的方程式。

Answer 1

直线 (x, y, z) = (1+t, 2-t, 3+t) 上一点与点(1,-2,-1）所成直线 L 的方向向量 s：（t，4-t，4+t）与 平面 x+3y-z=0 的法向量 n：（1,3，-1）垂直，故：
0=s.n= t+3(4-t)-(t+4) --> t = 8/3

故直线 L 的方向向量 s：（8/3，4/3 ,20/3) ,方程为：
(x, y, z) = （1+8t,-2+4t,-1+20t)

Answer 2

线L通过点(1,-2,-1)与平面x+3y-z=0平行
则含线L的平面方程是：(x-1)+3(y+2)-(z+1)=0
即x+3y-z+4=0

另一条线(x,y,z)=(1+t,2-t,3+t)的一般表达式是：
x+2y+z-8=0

所以直线L是x+3y-z+4=0与x+2y+z-8=0的交线
先求直线上任意一点
令z=1，得方程组：
x+3y-1+4=0
x+2y+1-8=0
解之得：
x=27，y=-10
即(27,-10,1)是L上一点

再求方向向量s
|i j k |
s=|1 3 -1|=5i-2j-k
|1 2 1 |
因此所求直线是：
(x-27)/5=(y+10)/(-2)=(z-1)/(-1)
(x-27)/5=(y+10)/(-2)=(z-1)/(-1)=r
则x=5r+27，y=-2r-10，z=-r+1
即所求直线是：
(x,y,z)=(5r+27,-2r-10,-r+1)