如图(1),小明在研究正方形ABCD的有关问题时,得出:“在正方形ABCD中,如果点E是CD的中点,点F是BC边上
如图(1),小明在研究正方形ABCD的有关问题时,得出:“在正方形ABCD中,如果点E是CD的中点,点F是BC边上的一点,且∠FAE=∠EAD,那么EF垂直AE”。他又将...
如图(1),小明在研究正方形ABCD的有关问题时,得出:“在正方形ABCD中,如果点E是CD的中点,点F是BC边上的一点,且∠FAE=∠EAD,那么EF垂直AE”。他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图2,图3,图4),其他条件不变,发现仍有"EF垂直AE"结论。
你同意小明的观点吗,若同意,请结合图4加以证明,若不同意请说出理由 展开
你同意小明的观点吗,若同意,请结合图4加以证明,若不同意请说出理由 展开
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解:同意.
方法一:
证明:如图(略)①,延长AE交BC的延长线于点G.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC, ∴∠D=∠ECG,
∵E为DC的中点, ∴DE=EC,
又∵∠DEA=∠CEG, ∴△ADE≌△GCE(ASA)
∴AE=GE, ∠DAE=∠G
∵∠FAE=∠DAE, ∴∠FAE=∠G.
∴FA=FG.
∴EF⊥AE
方法二:
证明: 如图②,在AF上截取AG=AD,连接EG、GC.
∵∠FAE=∠EAD,AE=AE, ∴△AEG≌△AED(SAS).
∴DE=GE, ∠AGE=∠D, ∠1=∠2.
∵点E是DC的中点,∴EC=DE, ∴EC=GE.
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD//BC, ∴∠BCD+∠D=180°.
∵∠EGF+∠AGE=180°, ∴∠BCD=∠EGF
∵EG=EC, ∴∠EGC=∠ECG. ∴∠FGC=∠FCG. ∴GF=FC.
又∵EF=EF, ∴△GEF≌△CEF(SSS)
∴∠3=∠4.
∴∠AEF=∠2+∠3=(∠1+∠2+∠3+∠4)=×180°=90°.
∴EF⊥AE
方法一:
证明:如图(略)①,延长AE交BC的延长线于点G.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC, ∴∠D=∠ECG,
∵E为DC的中点, ∴DE=EC,
又∵∠DEA=∠CEG, ∴△ADE≌△GCE(ASA)
∴AE=GE, ∠DAE=∠G
∵∠FAE=∠DAE, ∴∠FAE=∠G.
∴FA=FG.
∴EF⊥AE
方法二:
证明: 如图②,在AF上截取AG=AD,连接EG、GC.
∵∠FAE=∠EAD,AE=AE, ∴△AEG≌△AED(SAS).
∴DE=GE, ∠AGE=∠D, ∠1=∠2.
∵点E是DC的中点,∴EC=DE, ∴EC=GE.
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD//BC, ∴∠BCD+∠D=180°.
∵∠EGF+∠AGE=180°, ∴∠BCD=∠EGF
∵EG=EC, ∴∠EGC=∠ECG. ∴∠FGC=∠FCG. ∴GF=FC.
又∵EF=EF, ∴△GEF≌△CEF(SSS)
∴∠3=∠4.
∴∠AEF=∠2+∠3=(∠1+∠2+∠3+∠4)=×180°=90°.
∴EF⊥AE
2010-09-23
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我也不会
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