Question

请教一道数学题，数学高手来。

建造一个长方体无盖蓄水池，容量为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米造价为150元，池壁没平方米造价120元，怎样设计能使总造价最低，最低多少元？
要解答过程。

Answer 1

解：因为容量和深度已经确定，所以底面积是确定的。
底面积S1=4800/3=1600(m)，底面造价P1=1600×150=240000（元）
显然，在容积不变的前提下，池壁面积越小，造价越低。因此只需求最小池壁面积。
设水池底面长x米，则宽为1600/x米
池壁面积S2=2·3·(x+1600/x)
所以当x=1600/x，即x=40米时S2取得最小值480（平方米）
这时池壁造价P2=480×120=57600（元）
总造价P=P1+P2=297600（元）
答：设计为边长等于40米的正方形底面时造价最低，最低造价为297600元。

Answer 2

设长为Xm,宽为Ym。
xy=4800/3=1600即x=1600/y
总造价=150xy+120*3x*2+120*3y*2
=150*1600+720*(1600/y)+720y
基本不等式 当且仅当y=40 x=40时造价最低，最低为297600元

Answer 3

由题可知：底面积S=4800/3=1600平方米。
池底的造价为150*1600=240000元
假设池的长为x米，宽为y米，则有：x*y=1600
设水池的总造价为W元
W=240000+（3*x+3*y）*2*120
=240000+（x+1600/x）*720
=240000+（x+1600/x-80+80)*720
=240000+（√x-40/√x)的平方*720+720*80
若要使W最小，则有√x-40/√x=0,则x=40米，y=40米。
水池要设计成长为40米，宽为40米，高为3米。总造价W=297600元。

Answer 4

设宽为x，长为y。
x*y*3=4800,x*y=1600
又x>0,y>0,可以得出一个图像，一个反比例函数y=1600/x
z为总造价z=6（x+y）*120+x*y*150
x+y>0,求z为最小，
x*x+y*y≥2x*y
x*x+y*y+2x*y≥4x*y
(x+y)(x+y)≥4x*y,x*y=1600 代入
x+y≥80
x*y=1600
x=y=40
z=57600+240000=297600