Question

求解一道三角函数题

求函数f(x)=-2cos²x+2sinx+3,x∈R的最大值。求解，可以话再求一下每一步的思路

Answer 1

由sin²x + cos²x=1得：
f(x)=-2(1 - sin²x) + 2sinx + 3
=-2 + 2sin²x + 2sinx + 3
=2sin²x + 2sinx + 1
将f(x)看成一个二次函数，配方得：
=2(sin²x + sinx) + 1
=2(sin²x + sinx + 1/4 - 1/4) + 1
=2(sinx + 1/2)² - 1/2 + 1
=2(sinx + 1/2)² + 1/2
∵正弦函数的值域是[-1，1]
∴-1/2≤sinx + 1/2≤3/2
∴当sinx=1时，f(x)取最大值
即：f(x)=2•(3/2)² + 1/2=5