Question

x , y 属于R , x^2 + y^2 =1 . 求 (x/3) + (x/4) 的最大值.

Answer 1

解:
∵x、y∈R，x²+y²=1

设x=sinα，y=cosα

x/3+y/4=1/3sinα+1/4cosα=5/12×（4/5sinα+3/5cosα）=5/12sin(α+β) 【其中cosβ=4/5，sinβ=3/5】

∴当sin(α+β)=1时有最大值
∴x/3+y/4的最大值为5/12

Answer 2

是求 x/3 + y/4 的最大值吧.

三角换元：x = cos t, y = sin t,则
x/3 + y/4
= 1/4·sint + 1/3·cost
= √[(1/4)²+(1/3)²] sin(t+α）
≤ √[(1/4)²+(1/3)²]
= 5/12
于是(x/3) + (y/4) 的最大值是5/12.

向量法：(x/3) + (y/4)
= (1/3,1/4)·(x,y)
≤|(1/3,1/4)|·|(x,y)|
= √[(1/4)²+(1/3)²] ·1
= 5/12
于是(x/3) + (y/4) 的最大值是5/12.

柯西不等式：[(x/3) + (y/4)]²
= [x·(1/3) + y·(1/4)]²
≤ (x²+y²)[(1/3)²+（1/4)²]
= 25/144
于是(x/3) + (y/4) 的最大值是5/12.

Answer 3

三角换元就好了