Question

设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y)

f(三分之一)=1 且当x>0时 f(x)<0
求f(0)的值
判断函数奇偶性
如果f(x)+f(2+x)<2 求x的取值范围

Answer 1

令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0;令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),x定义域是关于原点对称的,所以函数为奇函数;f(x)+f(2+x)<2,所以f(x+2+x)=f(2x+2)<2,若x>0,y>0,f(x+y)-f(x)=f(y),又x>0时 f(x)<0,所以f(y)
<0,f(x+y)-f(x)<0,x+y>x,所以x>0,函数为单调递减.根据奇函数性质,函数在定义域R上为减函数.f(1/3+1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2,f(2/3)=2,f(2x+2)<f(2/3),2x+2>2/3,x>-2/3

Answer 2

这题有问题吧，当x>0时，f(x)<0??????
f(1/3)不是大于零嘛

Answer 3

令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0;令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),x定义域是关于原点对称的,所以函数为奇函数;f(x)+f(2+x)<2,所以f(x+2+x)=f(2x+2)<2,若x>0,y>0,f(x+y)-f(x)=f(y),又x>0时f(x)<0,所以f(y)
<0,f(x+y)-f(x)<0,x+y>x,所以x>0,函数为单调递减.根据奇函数性质,函数在定义域R上为减函数.f(1/3+1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2,f(2/3)=2,f(2x+2)<f(2/3),2x+2>2/3,x>-2/3