Question

在△ABC中,若a.b.c分别为A.B.C的对边，且cos2B+cosB+cos（A-C）=1

在△ABC中,若a.b.c分别为A.B.C的对边，且cos2B+cosB+cos（A-C）=1,求证b平方=ac

Answer 1

证：首先,在△ABC中,A+B+C=180度
那么cosB=-cos(A+C),即原式为
cos2B-cos(A+C)+cos（A-C）=1;
由二倍角公式及和差化积公式,得
cos2B=1-2(sinB)^2;
cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC;
即原式变为
1-2(sinB)^2+2sinAsinC=1;
即sinAsinC=(sinB)^2;
再由正弦定理sinA/a=sinB/b=sinC/c得
ac=b^2