Question

已知：如图,在△ABC中,∠A=90°，点D在BC上，AB=AC=BD，ED⊥BC，垂足为D 求证：AE=DE=DC

已知：如图,在△ABC中,∠A=90°，点D在BC上，AB=AC=BD，ED⊥BC，垂足为D
求证：AE=DE=DC

Answer 1

解：

①由题已知AB=AC=BD,且∠A=90°

∴RT△ABC为等腰直角三角形

且∠B=∠C=45°

②由题已知ED⊥BC.

∠C=45°

由三角形内角和为180°

∴∠CED=45°

得△CED为等腰直角三角形。

∴CD=ED

③连接EB

EB为△ABE和△DEB的共线。

所以EB=EB 

又由题AB=AC=BD得AB=BD

又∠A=∠EDC=90°

所以由勾股定理得：

EB²=BD²+ED²

EB²=AB²+AE²

BD²+ED²=AB²+AE²

BD=AB

∴得ED²=AE²

所以得ED=AE

综上所述，证得AE=DE=DC 。

Answer 2

连接BE，RT△ABE≌RT△DBE→AE=DE
∠C=45°，∠CED=45°→DE=DC
AE=DE=DC

Answer 3

角C为45度。角CDE为90度。则三角形CDE是等腰三角形，所以CD=DE。再连接EB，因为BD=AB，角A为90度，EB共边，即RT三角形全等（也可以用勾股定理说明），所以AE=DE。从而AE=DE=DC。